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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 29

Se a manivela B C gira com uma velocidade angular ω B C = 6   r a d / s , determine a velocidade do anel em A . Suponha que a velocidade angular de A B é perpendicular à barra.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a velocidade do anel em A .

Vamos às analises:

v B = ω B C × r B / C

ω A B = ω x i + ω y j + ω z k

r A / B = - 0,3 i - 1 j + 0,8 k

Temos então que:

v A = v B + ω A B × r A / B

Para resolver produto vetorial, temos que ter cuidado com quem multiplica quem primeiro. Por exemplo:

i × j ≠ j × i

Aqui estão todos os produtos dos vetores unitários:

v B = ( 6 k ) × - 0,3 i

v B = - 1,8 j   m / s

Passo 2

Portanto:

v A k = - 1,8 j + ω x i + ω y j + ω z k × - 0,3 i - 1 j + 0,8 k

Vamos encontrar cada termo da equação de v B , para melhorar a organização dos cálculos:

ω A B × r A / B = ω x i + ω y j + ω z k × - 0,3 i - 1 j + 0,8 k

ω A B × r A / B = i j k ω x ω y ω z - 0,3 - 1 0,8

ω A B × r A / B = 0,8 ω y i - 0,3 ω z j - 1 ω x k - - 1 ω z i + 0,8 ω x j - 0,3 ω y k

ω A B × r A / B = 0,8 ω y + 1 ω z i + - 0,3 ω z - 0,8 ω x j + - 1 ω x + 0,3 ω y k

Juntando tudo temos:

v A k = - 1,8 j + 0,8 ω y + 1 ω z i + - 0,3 ω z - 0,8 ω x j + - 1 ω x + 0,3 ω y k

Passo 3

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

0 i = 0 i + 0,8 ω y + 1 ω z i

0 j = - 1,8 j + - 0,3 ω z - 0,8 ω x j

v A k = 0 k + - 1 ω x + 0,3 ω y k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

ω A B ⋅ r A / B = 0

ω x i + ω y j + ω z k ⋅ - 0,3 i - 1 j + 0,8 k = 0

- 0,3 ω x - 1 ω y + 0,8 ω z = 0

Passo 4

Relacionando as 4 equações, temos que:

ω x = - 2,133   r a d / s

ω y = 0,3902   r a d / s

ω z = - 0,3121   r a d / s

v A = 2,25   m / s

Logo:

v A = 2,25 k   m / s

Resposta

v A = 2,25 k   m / s

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