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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 47

Para a placa quadrada uniforme de lado hz 300 mm, determine (a) o período de pequenas oscilações se a placa for suspensa como mostrado, (b) a distância c de 0 a um Ponto A do qual a placa deve ser suspensa durante o período para ser um mínimo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) o período de pequenas oscilações se a placa for suspensa como mostrado, (b) a distância c de 0 a um Ponto A do qual a placa deve ser suspensa durante o período para ser um mínimo. Entao vem comigo :D

  1. Equação de movimento

Σ M 0 = Σ M 0 e f f : α = θ ¨

I → = 1 6 m b 2

a t = ( O G ) ( α )

O G = b 2 2

a t = b 2 2 θ ¨

+  O G sin ⁡ θ m g = - O G m a t - I → α               s i n ⁡ θ ≈ θ

b 2 2 m b 2 2 θ ¨ + 1 6 m b 2 θ ¨ + b 2 2 m g ⁡ θ = 0

Passo 2

(b)  1 2 + 1 6 m θ ¨ + 2 2 m g θ = 0

θ ¨ + 2 2 g 2 3 b θ = 0  or  θ ¨ + 3 2 4 g b = 0

Frequência natural e período ω n 0 2 = 3 2 g 4 g b = 3 2 ( 9.81 ) ( 4 ) ( 0.3 ) = 34.68

ω n 0 = 5.889 r a d / s τ n 0 = 2 π ω n 0

τ n 0 = 1.067 s

Passo 3

(b) suspensa por A  deixe  e = ( O G - c )

a i = e α

Equação do movimento + Σ M A = Σ M A e f f : m g e s i n ⁡ θ = - e m a t - I - α = - m e 2 + I - α

m e 2 + 1 6 b 2 θ ¨ + m g e θ = 0

Frequência e período ]

ω n 2 = e g e 2 + 1 6 b 2

τ n 2 = 4 π 2 ω n 2 = 4 π 2 e 2 + 1 6 b 2 e g

τ n 2 = 4 π 2 g e + b 2 6 e

Para τ n ser mínimo

d d e e + b 2 6 e = 0

1 - b 2 6 e 2 = 0               b 2 e 2 = 6             e = b 6

c = O G - e = 2 2 b - b 6 = 0.29886 b

c = ( 0.29886 ) ( 300 m m )

c = 89.7 m m

Resposta

(a)   τ n 0 = 1.067 s

(b)   c = 89.7 m m

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