Enunciado

A placa retangular uniforme tem uma massa m = 2   k g e é submetida a uma rotação ω = 4   r a d / s em torno de seus mancais em A e B . Se a = 0,2   m e c = 0,3   m , determine as reações verticais em A e B no instante em que a placa está vertical, como mostrado. Utilize os eixos x ,   y , z mostrados e observe que I z x = - m a c 12 c 2 - a 2 c 2 + a 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

ω x = ω y = 0

ω z = - 4

ω ˙ x = ω ˙ y = ω ˙ z = 0

Temos a seguinte expressão para o sistema:

∑ M y = I y y ω ˙ y - I z z - I x x ω z ω x - I y z ω ˙ z - ω x ω y - I z x ω z 2 - ω x 2 - I x y ( ω ˙ x + ω y ω z )

Agora é só substituir os valores conhecidos:

∑ M y = B x a 2 2 + c 2 2 1 / 2 - A x a 2 2 + c 2 2 1 / 2

Portanto:

B x a 2 2 + c 2 2 1 2 - A x a 2 2 + c 2 2 1 2 = - I z x ω z 2

Do enunciado, temos que:

I z x = - m a c 12 c 2 - a 2 c 2 + a 2

Portanto:

B x a 2 2 + c 2 2 1 2 - A x a 2 2 + c 2 2 1 2 = m a c 12 c 2 - a 2 c 2 + a 2 - 4 2

B x - A x a 2 4 + c 2 4 1 2 = 16 m a c 12 c 2 - a 2 c 2 + a 2

B x - A x 1 2 a 2 + c 2 1 2 = 16 m a c 12 c 2 - a 2 c 2 + a 2

B x - A x = 32 m a c 12 c 2 - a 2 c 2 + a 2 1 a 2 + c 2 1 2  

B x - A x = 32 m a c 12 c 2 - a 2 a 2 + c 2 3 2

Substituindo os valores do enunciado, temos:

B x - A x = 32 ( 2 ) ( 0,2 ) ( 0,3 ) 12 0,3 2 - 0,2 2 0,2 2 + 0,3 2 3 2

B x - A x = 0,34135

Precisamos de outra equação. Vamos fazer a análise do somatório das forças em x :

∑ F x = m a G x = 0

A x + B x - m g = 0

A x + B x = 2 9,81 = 19,62

Vamos somar as duas equações:

A x + B x + B x - A x = 19,62 + 0,34135

2 B x = 19,96135

B x = 9,98   N

Portanto:

A x = B x - 0,34135

A x = 9,64   N

Resposta

B x = 9,98   N

A x = 9,64   N

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