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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 85

Para um quarto de elipse do Problema 9.67, determine a orientação dos eixos principais na origem e os valores correspondentes dos momentos de inércia.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Analisando o Problema 9.67 para alcançar os seguintes valores correspondentes dos momentos de inércia e produto de inércia para com os novos eixos centroidais obtidos por rotações dos eixos x e y , logo, teremos que:

I - x y = 1 2 a 4

Passo 2

Podemos analisar o problema 9.79 para encontrar:

I - x = π 8 a 4

I - y = π 2 a 4

Passo 3

Agora podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = 2 I - x y I - x - I - y

tan ⁡ 2 θ m = 2 1 2 a 4 π 8 a 4 - π 2 a 4

tan ⁡ 2 θ m = 8 2 π

2 θ m = 40,326 °   e   220,326 °

Logo:

θ m = 20,2 °

E:

θ m = 110,2 °

Passo 4

Portanto, os momentos principais de inércia serão:

I - m á x , m í n = I - x + I - y 2 ± I - x - I - y 2 2 + I - x y 2

I - m á x , m í n = π 8 a 4 + π 2 a 4 2 ± π 8 a 4 - π 2 a 4 2 2 + 1 2 a 4 2

Resolvendo, temos que:

I - m á x = 1,754 a 4

I - m í n = 0,209 a 4

Por inspeção, o eixo a corresponde ao momento de inércia mínimo e o eixo b corresponde ao momento de inércia máximo.

Resposta

I - m á x = 1,754 a 4

θ m = 110,2 °

I - m á x = 1,754 a 4

θ m = 20,2 °

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