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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 99

Usando o círculo de Mohr para a superfície indicada, determine a orientação dos eixos centroidais principais e os valores correspondentes dos momentos de inércia.

Superfície do Problema 9.72 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Do Problema 9 . 76 temos os seguintes momentos de inércia e produto de inércia:

I x = 3293,16 × 10 6   m m 4

I y = 6308,8 × 10 6   m m 4

I x y = - 3520 × 10 6   m m 4

Analisando o círculo de Mohr, que é definido pelo diâmetro X Y , temos que:

X 3293,16 × 10 6 , - 3520 × 10 6

E:

Y 6308,8 × 10 6 , 3520 × 10 6

A partir disso, podemos achar o momento de inércia do ponto médio do círculo de Mohr. Temos que:

I m é d = 1 2 I x + I y

I m é d = 1 2 3293,16 × 10 6 + 6308,8 × 10 6

I m é d = 4800,98 × 10 6   m m 4

Passo 2

O raio R do círculo de Mohr será:

R = I x - I y 2 2 + I x y 2

R = 1 2 3293,16 × 10 6 - 6308,8 × 10 6 2 + - 3520 × 10 6 2

R = 3829,35 × 10 6   m m 4

Passo 3

Podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = - 2 I x y I x - I y

tan ⁡ 2 θ m = - 2 - 3520 × 10 6 3293,16 × 10 6 - 6308,8 × 10 6

tan ⁡ 2 θ m = - 2,33451

2 θ m = - 66,812 °

E:

θ m = - 33,4 °

Passo 4

Vamos usar o círculo de Mohr para determinar a orientação dos eixos principais na origem e os valores correspondentes dos momentos de inércia em relação a novos eixos obtidos por rotação dos eixos x e y em torno de O de 33,4 ° no sentido horário:

I m á x , m í n = I m é d ± R

I m á x , m í n = 4800,98 × 10 6 ± 3829,35 × 10 6

Logo:

I m á x = 8630,33 × 10 6

E:

I m í n = 971,63 × 10 6

Portanto, podemos concluir que no círculo de Mohr é visto que a é oo eixo que corresponde a I m í n e o eixo b corresponde a I m á x .

Resposta

θ m = - 33,4 °

I m á x = 8630,33 × 10 6

E:

I m í n = 971,63 × 10 6

Portanto, podemos concluir que no círculo de Mohr é visto que a é oo eixo que corresponde a I m í n e o eixo b corresponde a I m á x .

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