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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 83

Resolva o Problema 10.82 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

O problema pede que encontremos o centroide y - e os momentos e produtos de inércia, usando para isso o círculo de Mohr, que você pode encontrar uma explicação aqui mesmo no responde aí, dá uma olhadinha lá!

Então, vamos começar calculando o centroide:

y - = ∑ y - ⋅ A ∑ A = 2 [ 100 ( 200 ) ( 25 ) ] + 12,5 ( 2,5 ) ( 100 ) 2 ( 200 ) ( 25 ) + 25 ( 100 )

y - = 82 , 5   m m

Passo 2

Agora, vamos calcular o momento e o produto de inércia com relação aos eixos x e y :

I x = 2 1 12 25 200 3 + 25 20 0 17,5 2 + 1 12 100 25 3 + 10 0 25 70 2

I x = 48,78 ⋅ 10 6   m m 4

Vamos para o eixo y agora:

I y = 2 1 12 200 25 3 + 200 25 62,5 2 + 1 12 25 100 3

I y = 4 1,67 ⋅ 10 6   m m 4

E usando a simetria no dividindo a figura no eixo x , temos que:

I x y = 0

Passo 3

Agora, finalmente iremos usar o círculo de Mohr, onde o centro C do círculo encontra o eixo u , então, vamos lá:

I A V G = I x + I y 2 = 48,78 + 41,67 2 ⋅ 10 6

I A V G = 45,22 ⋅ 10 6   m m 4

As cordenadas de referência do ponto A são: 48,78 ; 0 ⋅ 10 6   m m 4

Logo, o circulo pode ser construído assim:

R = C A = 48,78 - 45,22 ⋅ 10 6

R = 3,56 ⋅ 10 6   m m 4

Passo 4

Com todas essas informações que obtemos, podemos calcular os momentos de inércia que são:

I u = 45,22 - 3,56 ⋅ cos ⁡ 60 ° ⋅ 10 6 = 43,4 ⋅ 10 6   m m 4

I v = 45,22 + 3,56 ⋅ cos ⁡ 60 ° ⋅ 10 6 = 47 ⋅ 10 6   m m 4

I u v = - 3,56 ⋅ sen ⁡ 60 ° ⋅ 10 6 = - 3,08 ⋅ 10 6   m m 4

Resposta

y - = 82 , 5   m m

I A V G = 45,22 ⋅ 10 6   m m 4

R = 3,56 ⋅ 10 6   m m 4

I u = 43,4 ⋅ 10 6   m m 4

I v = 47 ⋅ 10 6   m m 4

I u v = - 3,08 ⋅ 10 6   m m 4

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