Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 35

35. Se a roda é submetida a um deslocamento angular pequeno de θ e solta do repouso, observa-se que ela oscila com um período natural de τ . Determine o raio de giracao da roda em torno de seu centro de massa G. A roda tem uma massa de m e rola sobre os trilhos sem deslizamento.

Passo 1

A energia potencial no instante mostrado na figura é dada por:

V = V g = - W y G = - m g R c o s   θ

A energia cinética é :

T = 1 2 m v G 2 + 1 2 I G ω 2

= 1 2 m θ ˙ R 2 + 1 2 m k G 2 R r θ ˙ 2

1 2 m R 2 r 2 + k G 2 r 2 θ ˙ 2

Passo 2

Sabemos que:

T + V = c o n s t a n t

1 2 m R 2 r 2 + k G 2 r 2 θ ˙ 2 - m g R c o s   θ = c o n s t a n t

Derivando com relação ao tempo a equação acima, ficamos com:

m R 2 r 2 + k G 2 r 2 θ ˙ θ ¨ + m g R s e n   θ θ ˙ = 0

θ ˙ m R 2 r 2 + k G 2 r 2 θ ˙ + m g R s e n   θ = 0

Como θ ˙ não pode ser zero, então:

m R 2 r 2 + k G 2 r 2 θ ˙ + m g R s e n   θ = 0

θ ¨ + g R r 2 + k G 2 r 2 s e n   θ = 0

Como θ é pequeno s e n   θ = θ . Equacao se torna:

θ ¨ + g R r 2 + k G 2 r 2 θ = 0

Passo 3

Comparando a equação acima com a equação padrão para esee tipo de movimento, obtemos que a frequência natural do sistema é:

ω B = g R r 2 r 2 + k G 2

O período natural de oscilação é:

τ = 2 π ω B = 2 π R g r 2 + k G 2 r 2

k G = r 2 π ( τ 2 g - 4 π 2 R ) / R

Resposta

k G = r 2 π ( τ 2 g - 4 π 2 R ) / R

Ver Outros Exercícios desse livro