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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 107

Sabe-se que para uma dada área I y = 48 × 10 6   m m 4 e I x y = - 20 × 10 6   m m 4 , x e y representam eixos retangulares centroidais. Se o eixo correspondente ao produto de inércia máximo é obtido por rotação do eixo x de 67,5 ° no sentido anti-horário em torno do centroide C , use o círculo de Mohr para determinar a o momento de inércia I x da superfície, b os momentos de inércia centroidais principais.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Usaremos o círculo de Mohr para determinar o momento de inércia I x da superfície:

I x = I y + 2 I x y tan ⁡ 2 θ m

Substituindo os valores, temos:

I x = 48 × 10 6 + 2 - 20 × 10 6 tan ⁡ 45 °

I x = 88 × 10 6   m m 4

Passo 2

Usaremos agora o círculo de Mohr para determinar os momentos de inercia principais, porém, primeiro devemos encontrar o momento de inércia médio e o raio R do círculo:

I m é d = 1 2 I x + I y

I m é d = 1 2 88 × 10 6 + 48 × 10 6

I m é d = 68 × 10 6   m m 4

O raio do círculo é dado por:

R = I x y sen ⁡ 2 θ m

R = - 20 × 10 6 sen ⁡ 45

R = 28,284 × 10 6   m m 4

Passo 3

Portanto, os momentos principais máximos e mínimos serão:

I m á x , m í n = I m é d ± R

I m á x , m í n = 68 × 10 6 ± 28,284 × 10 6

Logo:

I m á x = 96,3 × 10 6   m m 4

I m í n = 39,7 × 10 6   m m 4

Resposta

a )   I x = 88 × 10 6   m m 4

b )   I m á x = 96,3 × 10 6   m m 4

I m í n = 39,7 × 10 6   m m 4

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