Enunciado

Um sistema torcional consiste em um disco de momento de inércia de massa J 0 = 10   k g ⋅ m 2 , u   m amortecedor de torçăo com uma constante de amortecimento c t = 300 N.m.s/rad e um eixo de aço de 4   c m de diâmetro e 1   m de comprimento (fixado em uma extremidade e ligado ao disco na outra extremidade). Observa-se uma oscilação angular constante de amplitude 2 ∘ quando um torque harmônico de magnitude 1000   N . m é aplicado ao disco.

(a) Determine a frequência do torque aplicado.(b) Determine o torque máximo transmitido ao suporte.

Passo 1

k t = π G 32 l d 4 = π 79.3 × 10 9 32 ( 1 ) 4 100 4 = 19930.31 N - m / r a d

ω n = k t σ 0 = 19930.31 10 = 44.6434 r a d / s e c

θ s t = m t 0 / k t = 1000 / 19930.31 = 0.0502 r a d

ζ t = c t 2 σ 0 ω n = 300 2 ( 10 ) ( 44.6434 ) = 0.336

Passo 2

(a) E 8 ⋅ ( 3.30 )  ,  quando escrito para um sistema de torção, dá

⊗ θ s t = 1 1 - r 2 2 + ( 25 r ) 2

i.e.,  ( 2 / 57.2956 ) 0.0502 = 1 1 - r 2 2 + ( 2 × 0.336 r ) 2

i.e.,  r 4 - 1.5484 r 2 - 1.0679 = 0

i.e.,  r 2 = 2.0655 , - 0.5171

∴ ω = r ω n = 2.0655 ( 44.6434 ) = 64.16 r a d / s e c

Passo 3

(b) torque máximo transmitido ao suporte

m t ( t ) = k t θ ( t ) + c t θ ˙ ( t ) = k t θ c o s ⁡ ( ω t - ϕ ) - c t ⊗ ω s i n ⁡ ( ω t - ϕ )

m t m a x = x t θ 2 + c t ⊕ ω 2 = 19930.31 2 57.2956 2 + 300 2 57.2956 ( 64 ⋅ 16 ) 2 = 967 ⋅ 2 N - m

Resposta

(a)   64.16 r a d / s e c

(b) 967 ⋅ 2 N - m

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