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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 96

O solido é formado pelo giro da área sombreada em torno do eixo y . Determine o raio de giração k y . O peso específico do material é γ = 60   k N / m 3 .

Passo 1

O problema pede que encontremos o raio de giração no eixo k .

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

m = ρ ⋅ V

De forma derivada fica:

d m = ρ ⋅ d V = ρ π x 2 d y

E sabemos que:

x = y 3 9

Então:

d m = 1 81 ρ π y 3   d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

m = ∫ d m = ∫ 0 3 1 81 ρ π y 3   d y

Resolvendo a integral, temos que:

m = 12,118 ⋅ ρ

Passo 3

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo y , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

d I y = 1 2 d m ( x ) 2

Ou seja:

d I y = 1 2 ρ π x 2 d y x 2 = 1 2 9 4 ρ π y 12 d y

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

I y = ∫ d I x = ∫ 0 3 1 2 9 4 ρ π y 12 d y

Resolvendo, a gente encontra:

I y = 29,362 ⋅ ρ

Agora, por fim iremos calcular o raio de geração:

k y = I y m = 29,362 ⋅ ρ 12,118 ⋅ ρ

k y = 1,56   m

Resposta

k y = 1,56   m

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