Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 121

A superfície plana mostrada na figura é girada em torno do eixo x para formar um corpo de revolução homogêneo de massa m . Determine por integração direta o momento de inércia do corpo em relação a ao eixo x , b ao eixo y . Expresse suas respostas em termos de m e as dimensões do sólido.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiramente, vamos definir a equação do raio em função da geometria dada. Se:

y = k x

Então:

r = k x

Para r = y = h .

k = h a

r = h a x

Por definição também vamos precisar do diferencial de massa:

d m = ρ d V

d m = ρ A d x

d m = ρ π h a x 2 d x

Integrando, teremos:

m = 2 3 ρ π h 2 a

Passo 2

Na equação do momento de inércia, temos:

I x = ∫ 1 2 r 2 d m

I x = ∫ 1 2 h a x 2 ρ π h a x 2 d x

I x = ∫ 1 2 h a x 4 ρ π d x

I x = 0,16 ρ π h 4 a

Isolando ρ na primeira equação da massa, e substituindo-o na equação anterior, podemos encontrar o momento de inércia em função da massa e da geometria do sólido:

I x = 0,16 ρ π h 4 a

I x = 0,16   3 2 m π h 2 a π h 4 a

I x = 0,2407 m h 2

Passo 3

Agora, em relação a y , vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I y = ∫ d I y + ∫ x 2 d m

I y = ∫ 1 4 r 2 d m + ∫ x 2 d m

Substituindo r = h a x e d m = ρ π r 2 d x , temos:

I y = ∫ 1 4 h a x 2 ρ π r 2 d x + ∫ x 2 ρ π r 2 d x

Como:

ρ = 3 2 m π h 2 a

Resolvendo e substituindo na integral, temos:

I y = m 3 a 2 + 0,1204 h 2

Resposta

I y = 1 12 m 3 a 2 + L 2

Ver Outros Exercícios desse livro