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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 96

Usando o círculo de Mohr, determine os momentos de inércia e o produto de inércia da seção transversal da cantoneira de L 127 × 76 × 12,7   m m do Problema 9.7 8 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 45 ° no sentido anti-horário.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Do Problema 9 . 8 4 temos os seguintes momentos de inércia e produto de inércia:

I x = 3,93 × 10 6   m m 4

I y = 1,06 × 10 6   m m 4

I x y = 1,16506 × 10 6   m m 4

Analisando o círculo de Mohr, que é definido pelo diâmetro X Y , temos que:

X 3,93 × 10 6 , 1,16506 × 10 6

E:

Y 1,06 × 10 6 , - 1,16506 × 10 6

A partir disso, podemos achar o momento de inércia do ponto médio do círculo de Mohr. Temos que:

I m é d = 1 2 I x + I y

I m é d = 1 2 3,93 × 10 6 + 1,06 × 10 6

I m é d = 2,495 × 10 6   m m 4

Passo 2

O raio R do círculo de Mohr será:

R = I x - I y 2 2 + I x y 2

R = 1 2 3,93 × 10 6 - 1,06 × 10 6 2 + 1,16506 × 10 6 2

R = 1,8484 × 10 6   m m 4

Passo 3

Podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = - 2 I x y I x - I y

tan ⁡ 2 θ m = - 2 1,16506 × 10 6 3,93 × 10 6 - 1,06 × 10 6

tan ⁡ 2 θ m = - 0,81189

2 θ m = - 39,073 °

Ou:

α = 180 ° - 39,073 ° + 90 °

α = 50,927 °

Passo 4

Determinaremos agora os momentos de inércia e o produto de inércia em relação aos novos eixos obtidos por rotação dos eixos x e y em torno de O de 30 ° no sentido horário:

I x ' = I m é d - R cos ⁡ α

I x ' = 2,495 × 10 6 - 1,8484 × 10 6 cos ⁡ 50,927 °

Logo:

I x ' = 1,33 × 10 6   m m 4

Temos também que:

I y ' = I m é d + R cos ⁡ α

I y ' = 2,495 × 10 6 + 1,8484 × 10 6 cos ⁡ 50,927 °

I y ' = 3,66 × 10 6   m m 4

E:

I x ' y ' = R sen ⁡ α

I x ' y ' = 1,8484 × 10 6 sen ⁡ 50,927 °

I x ' y ' = 1,435 × 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 1,33 × 10 6   m m 4

I y ' = 3,66 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = 1,435 × 10 6   m m 4

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