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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 95

Usando o círculo de Mohr, determine os momentos de inércia e o produto de inércia da seção transversal da cantoneira de L 76 × 51 × 6,4   m m do Problema 9.7 4 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 30 ° no sentido horário.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Do Problema 9 . 8 3 temos os seguintes momentos de inércia e produto de inércia:

I x = 0,166 × 10 6   m m 4

I y = 0,453 × 10 6   m m 4

I x y = - 0,1596 × 10 6   m m 4

Analisando o círculo de Mohr, que é definido pelo diâmetro X Y , temos que:

X 0,166 × 10 6 , - 0,1596 × 10 6

E:

Y 0,453 × 10 6 , 0,1596 × 10 6

A partir disso, podemos achar o momento de inércia do ponto médio do círculo de Mohr. Temos que:

I m é d = 1 2 I x + I y

I m é d = 1 2 0,166 × 10 6 + 0,453 × 10 6

I m é d = 0,3095 × 10 6   m m 4

Passo 2

O raio R do círculo de Mohr será:

R = I x - I y 2 2 + I x y 2

R = 1 2 0,166 × 10 6 - 0,453 × 10 6 2 + - 0,1596 × 10 6 2

R = 0,21463 × 10 6   m m 4

Passo 3

Podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = - 2 I x y I x - I y

tan ⁡ 2 θ m = - 2 - 0,1596 × 10 6 0,166 × 10 6 - 0,453 × 10 6

tan ⁡ 2 θ m = - 1,1122

2 θ m = - 48,04 °

Ou:

α = 60 ° - 48,04 °

α = 11,96 °

Passo 4

Determinaremos agora os momentos de inércia e o produto de inércia em relação aos novos eixos obtidos por rotação dos eixos x e y em torno de O de 30 ° no sentido horário:

I x ' = I m é d - R cos ⁡ α

I x ' = 0,3095 × 10 6 - 0,21463 × 10 6 cos ⁡ 11,96 °

Logo:

I x ' = 0,09953 × 10 6   m m 4

Temos também que:

I y ' = I m é d + R cos ⁡ α

I y ' = 0,3095 × 10 6 + 0,21463 × 10 6 cos ⁡ 11,96 °

I y ' = 0,5196 × 10 6   m m 4

E:

I x ' y ' = R sen ⁡ α

I x ' y ' = 0,21463 × 10 6 sen ⁡ 11,96 °

I x ' y ' = 0,04448 × 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 0,09953 × 10 6   m m 4

I y ' = 0,5196 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = 0,04448 × 10 6   m m 4

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