O suporte em forma de T mostrado na figura é apoiado por uma pequena roda em E e por cavilhas em C e D. despresando o efeito do atrito, determine (a) o menor valor de θ para que seu equilíbrio seja mantido, (b) as reações correspondentes em C, D e E.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Precisamos determinar o menor valor de θ para que haja equilíbrio, além das reações R E ,   R C e   R D .

Olhando para a imagem do enunciado, podemos notar que todas as forças estão em N (Newtons) e todas as medidas em mm (milímetros). Portanto não precisaremos fazer conversões.

Passo 2

O diagrama de corpo livre abaixo apresenta a representação das forças envolvidas.

Como podemos observar, duas das reações procuradas atuam na horizontal ( R C e   R D ) e apenas uma possui componente horizontal ( R E ). Podemos encontrar a reação R E em função de θ .

↑ + ∑ F y

R E ∙ cos ⁡ θ - 80 - 160 = 0

R E ∙ cos ⁡ 30 ° = 240

R E = 240 cos ⁡ θ

Passo 3

Aplicaremos agora o momento em torno do ponto D:

↺ + ∑ M C =0

R E ∙ s e n   θ   ∙ 75 - R C ∙ 75 + 80 ∙ 100 - 160 ∙ 100 = 0

R E ∙ s e n   θ ∙ 75 = ∙ R C ∙ 75 + 80 ∙ 100

Substituindo a relação encontrada para R E no passo interior, encontraremos a relação de equilíbrio entre R C e   θ :

240 ∙ s e n   θ ∙ 75 cos ⁡ θ = ∙ R C ∙ 75 + 80 ∙ 100

  tan ⁡ θ =   R C ∙ 75 + 80 ∙ 100 240 ∙ 75

Pelo relação encontrada vemos que R C e   t a n θ são diretamente proporcionais, como a função tan é crescente de 0 a π 2 . Nesse intervalo podemos afirmar que θ aumenta com o aumento de R C . Assim, o menor valor de θ é quando R C = 0 . Assim:

tan ⁡ θ =   80 ∙ 100 240 ∙ 75

θ = 23,96 °

Passo 4

Utilizando o valor de θ encontrado no passo 3 na relação encontrada no passo 2 podemos encontrar o valor de R E .

R E = 240 cos ⁡ 23,96 °

R E = 262,63   N

Finalmente, aplicamos o somatório das forças em x para encontrar a reação R D

→ + ∑ F x = 0

- R D + R E ∙ s e n   θ + R C = 0  

- R D + 262,63 ∙ s e n   23,96 ° + 0 = 0  

R D = 106,65   N

O sinal positivo indica que o sentido da reação R D é o mesmo adotado no diagrama de corpo livre, ou seja, da direita para a esquerda.

Resposta

R E = 2 62 , 63   N   n a   d i r e ç ã o   i n d i c a d a   p o r   θ = 23,96 °  

R D = 106,65   N ←

R C = 0

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