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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 94

Usando o círculo de Mohr, determine os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície do Problema 9.75 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 45 ° no sentido horário.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Do Problema 9 . 8 2 temos os seguintes momentos de inércia e produto de inércia:

I x = 252757   m m 4

I y = 1752789   m m 4

I x y = 471040   m m 4

Analisando o círculo de Mohr, que é definido pelo diâmetro X Y , temos que:

X 252757 × 10 6 , 471040

E:

Y 1752789 , - 471040

A partir disso, podemos achar o momento de inércia do ponto médio do círculo de Mohr. Temos que:

I m é d = 1 2 I x + I y

I m é d = 1 2 252757 + 1752789

I m é d = 1002773   m m 4

Passo 2

O raio R do círculo de Mohr será:

R = I x - I y 2 2 + I x y 2

R = 1 2 252757 - 1752789 2 + 471040 2

R = 885665   m m 4

Passo 3

Temos então o seguinte círculo de Mohr:

Podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = - 2 I x y I x - I y

tan ⁡ 2 θ m = - 2 471040 252757 - 1752789

tan ⁡ 2 θ m = 0,62804

2 θ m = 32,130 °

Ou:

α = 18 0 ° - 32,130 ° + 90 °

α = 57,870 °

Passo 4

Determinaremos agora os momentos de inércia e o produto de inércia em relação aos novos eixos obtidos por rotação dos eixos x e y em torno de O de 45 ° no sentido horário:

I x ' = I m é d + R cos ⁡ α

I x ' = 1002773 + 885665 cos ⁡ 57,870 °

Logo:

I x ' = 1,474 × 10 6   m m 4

Temos também que:

I y ' = I m é d - R cos ⁡ α

I y ' = 1002773 - 885665 cos ⁡ 57,870 °

I y ' = 0,532 × 10 6   m m 4

E:

I x ' y ' = R sen ⁡ α

I x ' y ' = 885665 sen ⁡ 57,870 °

I x ' y ' = 0,750 × 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 1,474 × 10 6   m m 4

I y ' = 0,532 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = 0,750 × 10 6   m m 4

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