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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 105

Usando o círculo de Mohr para a seção transversal de cantoneira mostrada na figura, determine a orientação dos eixos centroidais principais e os valores correspondentes do momento de inércia. (As propriedades da seção transversal são dadas na Fig. 9.13).

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que, para a cantoneira L 127 × 76 × 12,7 :

I x = 3,93 × 10 6   m m 4

I y = 1,06 × 10 6   m m 4

Para obtermos o produto de inércia da seção transversal dada, temos que:

I x y = I x y 1 + I x y 2

Em seguida, temos os produtos de cada retângulo da superfície dada:

I x y = I x ' y ' + x - y - A

Sabemos que há simetria em:

I x y = 0

Passo 2

Portanto, teremos que:

I x y = ∑ x - y - A

I x y = - 1,165 × 10 6   m m 4

Passo 3

Agora, usando o círculo de Mohr, determinaremos o produto de inércia I x y da superfície dada juntamente com os dados fornecidos na questão:

I m é d = 1 2 I x + I y

I m é d = 1 2 3,93 + 1 , , 06 × 10 6

I m é d = 2,495 × 10 6   m m 4

Passo 4

O raio do círculo de Mohr será:

R = I x - I y 2 2 + I x y 2

R = 3,93 - 1,06 2 2 + - 1,165 2 × 10 6   m m 4

R = 1,8484 × 10 6   m m 4

Passo 5

Usando o círculo de Mohr, determinaremos a orientação dos eixos principais.

tan ⁡ 2 θ m = - 2 I x y I x - I y

tan ⁡ 2 θ m = - 2 - 1,165 × 10 6 3,93 - 1,06 × 10 6

2 θ m = 39,08 °

E:

θ m = 19,54 °

Passo 6

Portanto, podemos afirmar que os eixos principais são obtidos por rotação dos eixos x e y em torno de C a 19,54 ° no sentido anti-horário.

Portanto, os momentos principais máximos e mínimos serão:

I m á x , m í n = I m é d ± R

I m á x , m í n = 2,495 × 10 6 ± 1,8484 × 10 6

Logo:

I m á x = 4,34 × 10 6   m m 4

I m í n = 0,647 × 10 6   m m 4

Resposta

θ m = 19,54 °

I m á x = 4,34 × 10 6   m m 4

I m í n = 0,647 × 10 6   m m 4

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