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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 110

Usando a propriedade de invariância estabelecida no problema anterior, expresse o produto de inércia I x y de uma superfície A em relação a um par de eixos retangulares passando por O em termos dos momentos de inércia I x e I y de A e dos momentos de inércia principais I m á x e I m í n em relação a O . Use a fórmula obtida para calcular o produto de inércia I x y da seção transversal da cantoneira L 76 × 51 × 6,4   m m mostrada na Figura 9.13 , sabendo que seu momento de inércia máximo é 490 × 10 6   m m 4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Sabemos que:

I x ' I y ' - I x ' y ' 2 = c o n s t a n t e

Agora considere dois casos:

Caso 1:

I x ' = I x

I y ' = I y

I x ' y ' = I x y

Caso 2:

I x ' = I m á x

I y ' = I m í n

I x ' y ' = 0

Então, relacionando os dois, temos:

I x I y - I x y 2 = I m á x I m í n

Logo:

I x y 2 = I x I y - I m á x I m í n

I x y = ± I x I y - I m á x I m í n

Passo 2

Sabemos que para a cantoneira em questão:

I x = 0,454 × 10 6   m m 4

I y = 0 , 162 × 10 6   m m 4

Podemos então usar a propriedade do momento de inércia médio para descobrir I m í n . Temos que:

I m é d = 1 2 I x + I y = 1 2 I m á x + I m í n

Portanto:

I x + I y = I m á x + I m í n

I m í n = 0,454 × 10 6 + 0,162 × 10 6 - 490 × 10 6

I m í n = - 489,384 × 10 6   m m 4

Logo:

I x y = ± 0,454 0,162 - 490 - 489,384 × 10 6

I x y = ± 489 × 10 6   m m 4

Resposta

I x y = ± I x I y - I m á x I m í n

I x y = ± 489 × 10 6   m m 4

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