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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 83

Use o método da energia para determinar a frequência natural de vibração do sistema mostrado na Figura 2.74 .

Passo 1

Queremos a frequência natural do sistema da Figura 2.74.

Vamos calcular a energia cinética T para o sistema:

T = 1 2 m x ˙ 2 + 1 2 J 0 θ ˙ 2

Onde x ˙ é a velocidade linear do sistema e θ ˙ a velocidade angular da polia.

Sabendo que:

θ ˙ = x ˙ r

Temos que:

T = 1 2 m x ˙ 2 + 1 2 J 0 x ˙ r 2

T = 1 2 m + J 0 r 2 x ˙ 2

Passo 2

A energia potencial é dada por:

U = 1 2 k 4 r θ 2

Substituindo r θ por x , temos que:

U = 1 2 k 4 x 2

U = 1 2 16 k x 2

O método da energia consiste na derivação da adição de energia cinética e potencial para se conseguir uma equação de movimento da forma:

x ¨ + ω n 2 x = 0

E é assim que encontraremos a nossa frequência natural.

Passo 3

Temos que:

d U + T d t = 0

d d t 1 2 m + J 0 r 2 x ˙ 2 + 8 k x 2 = 0

Resolvendo, temos que:

m + J 0 r 2 x ˙ x ¨ + 16 k x x ˙ = 0

Rearranjando, temos que:

m + J 0 r 2 x ˙ x ¨ + 16 k x x ˙ = 0

m + J 0 r 2 x ¨ + 16 k x = 0

x ¨ + 16 k m + J 0 r 2 x = 0

Portanto:

ω n 2 = 16 k m + J 0 r 2

ω n = 16 k m + J 0 r 2

Resposta

ω n = 16 k m + J 0 r 2

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