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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 75

Use o método de Rayleigh para resolver o Problema 2.7 .

Passo 1

A partir da análise do sistema, vamos encontrar a sua rigidez equivalente. Vamos calcular a rigidez equivalente entre as molas 1 e 2 com base na sua interação. Temos que:

1 2 k 12 e q θ l 3 2 = 1 2 k 1 θ l 1 2 + 1 2 k 2 θ l 2 2

Onde l 3 é o comprimento total da barra.

Logo:

k 12 e q = k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 l 3 2

Para a rigidez equivalente do sistema, temos que:

1 k e q = 1 k 12 e q + 1 k 3

k e q = k 12 e q ⋅ k 3 k 12 e q + k 3

Substituindo os dados, temos que:

k e q = k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 l 3 2 ⋅ k 3 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 l 3 2 + k 3

k e q = k 1 k 3 l 1 2 + k 2 k 3 l 2 2 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2

Passo 2

A energia potencial é dada por:

U = 1 2 k e q x 2

Sabendo que para o movimento harmônico:

U = U m á x

x = X

Temos que:

U m á x = 1 2 k 1 k 3 l 1 2 + k 2 k 3 l 2 2 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2 X 2

Passo 3

A energia cinética é dada por

K = 1 2 m x ˙ 2

Para a máxima energia cinética, temos que:

K m á x = 1 2 m ω n X 2

K m á x = 1 2 m ω n 2 X 2

Podemos calcular a frequência natural pelo método de Rayleigh equacionando as duas equações:

K m á x = U m á x

1 2 m ω n 2 X 2 = 1 2 k 1 k 3 l 1 2 + k 2 k 3 l 2 2 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2 X 2

m ω n 2 = k 1 k 3 l 1 2 + k 2 k 3 l 2 2 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2

Portanto:

ω n 2 = k 1 k 3 l 1 2 + k 2 k 3 l 2 2 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2 m

ω n = k 1 k 3 l 1 2 + k 2 k 3 l 2 2 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2 m

Resposta

ω n = k 1 k 3 l 1 2 + k 2 k 3 l 2 2 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2 m

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