Enunciado

As vibrações transitórias do sistema de transmissão desenvolvidas durante a aplicação de uma embreagem de cone (fricção) resultam em um ruído desagradável. Para reduzir o ruído, um volante com um momento de inércia de massa J 2 é acoplado ao sistema de transmissão por meio de uma mola torcional k f 2 e um amortecedor torcional viscoso c d 2 , como mostrado na Figura 5.51 . Se o momento de inércia de massa da embreagem de cone for j 1 e a rigidez e a constante de amortecimento do sistema de transmissão forem dadas por k t 1 e c t 1 , respectivamente, derive as relações que devem ser satisfeitas para a operação estável do sistema.

Passo 1

Equações do movimento

J 1 θ ¨ 1 + c t + θ ˙ 1 - c t 2 θ ˙ 2 - θ ˙ 1 + k t 1 θ 1 - k t 2 θ 2 - θ 1 = 0

J 2 θ ¨ 2 + c t 2 θ ˙ 2 - θ ˙ 1 + k t 2 θ 2 - θ 1 = 0

i.e

J 1   0   0   J 2   θ ¨ 1   θ ¨ 2   + c t 1 + c t 2         - c t 2   - c t 2         c t 2   θ ˙ 1   θ ˙ 2   + k t 1 + k t z         - k t 2   - k t 2         k t 2   θ 1   θ 2   = 0   0   (E1)

Deixe θ j ( t ) = x j e x t (E2)

Eq (E1) rende

J   s 2   0   0   J 2 s 2     + c t 1 + c t 2 s   - c t 2 s   - c t 2 s   c t 2 s   + k t 1 + x t 2         - k t 2   - k t 2         k t 2   x 1   x 2   e s t = 0   0   (E3)

Passo 2

A equação característica se torna

J 1 s 2 + c t 1 + c t 2 s + k t 1 + k t 2         - c t 2 s + k t 2   - c t 2 s + k t 2         J 2 s 2 + c t 2 s + k t 2   = 0

i.e a 0 s 4 + a 1 s 3 + a 2 s 2 + a 3 s + a 4 = 0 (E4)

em que

a 0 = J 1 J 2

a 1 = J 1 c t 2 + J 2 c t 1 + c t 2

a 2 = J 1 k t 2 + c t 2 c t 1 + c t 2 + J 2 k t 1 + k t 2 - c t 2 2

a 3 = k t 2 c t 1 + c t 2 + c t 2 k t 1 + k t 2 - 2 c t 2 k t 2

a 4 = k t 2 k t 1 + k t 2 - k t 2 2

Para a estabilidade do sistema, as condições derivadas na seção 5.8 são aplicáveis:

a i > 0 ; i = 0,1 , 2,3 , 4

a 1 a 2 a 3 - a 1 2 a 4 - a 0 a 3 2 > 0

Resposta

a 1 a 2 a 3 - a 1 2 a 4 - a 0 a 3 2 > 0

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