Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A declividade no ponto B

Passo 1

Então galera, até aqui vimos casos de vigas simétricas, e esse caso pode acabar nos dando um medinho, mas pode ficar tranquilo, porque todas as premissas continuam iguais, a diferença está em como vamos usar ela, e para isso, sabemos de cara que precisamos das nossas reações de apoio, com isso, temos que:

∑ M B = 0

- V A L + w L L 2 - w L 2 L 4 = 0

- V A L + w L 2 2 - w L 2 8 = 0

V A L = 4 w L 2 8 - w L 2 8

V A L = 3 w L 2 8

V A = 3 w L 8

∑ F V = 0

3 w L 8 + V B - w L + L 2 = 0

3 w L 8 + V B - 3 w L 2 = 0

3 w L 8 + V B - 12 w L 8 = 0

V B = 9 w L 8

Podemos determinar o ponto em que o cortante é zero exatamente onde o momento vai ser máximo, assim, vamos ter que:

w x = 3 w L 8

x = 3 L 8 = 0,375 L

E com esses dados podemos desenhar o nosso diagrama de momentos fletores da nossa viga, que ficaria da seguinte maneira:

mas se liga só, calcular esse diagrama seria quase impossível, então, podemos usar um macete, vamos descartar o nosso apoio em A, e vamos supor que em B temos um engaste, e o macete vai ser desenhar o diagrama de cada carregamento separado, assim vamos ter:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , e assim teremos que:

Passo 2

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de A com relação a B da seguinte maneira:

θ A / B = θ A - θ B

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em B, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ B = θ A - θ A / B

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo B eu não irei modificar.

L θ B = L θ A - L θ A / B

L θ B = y A - y A / B

E sabemos que a deformação em A é zero, assim temos que:

θ B = - y A / B L

E para determinarmos a deformação y A / B precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ A, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito A / B . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = - 3 w L 2 8 E I × L × 1 2 = - 3 w L 3 16 E I

A 2 = L × w L 2 2 E I × 1 3 = w L 3 6 E I

A 3 = L 2 × w L 2 8 E I × 1 3 = w L 3 48 E I

E além das áreas precisamos da distancia de cada centroide até o nosso ponto A, assim teremos que:

Assim podemos definir que os dados que devemos usar estão entre A e B:

y A / B = A 1 y 1 + A 2 y 2

y A / B = - 3 w L 3 16 E I × 2 L 3 + w L 3 6 E I × 3 L 4  

y A / B = - 2 w L 4 16 E I + w L 4 8 E I

y A / B = - w L 4 8 E I + w L 4 8 E I = 0

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo, com isso teremos que:

θ B = - y A / B L = - 0 L = 0

Resposta

θ B = 0

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