Enunciado

Para a viga com carregamento mostrado, determinar a reação em cada um dos apoios.

Obs: determinação do ângulo em A para o caso 1

Passo 1

E ai, tudo beleza? Bora de mais um exercício sem dor de cabeça? Vem de conta tranquila.

Aqui o principio é o mesmo que já vimos no engaste, mas ao invemso de olharmos onde o ângulo é zero, vamos olhar onde a deformação é zero, por isso vamos ter um passo amais, que é o cálculo da deformação. Mas lembra que antes de sairmos fazendo cálculo, vamos dividir a nossa viga em vigas isostáticas, e para isso, eu vou trocar o apoio central por uma carga que queremos detemrinar, assim vamos ter que:

Agora lembre-se do seguinte, sabemos que na verdade em C temos um apoio, certo? Logo sabemos que a deformação lá é zero. Porém podemos ver que nas vigas isostáticas 1 e 2 teremos deformações formadas diferentes de zero em C, o que isso significa? Que se somarmos as deformações que temos na viga 1 com o que temos na viga 2, temos que ter zero como somatório deles, e daí conseguimos tirar o nosso P 0 , e a partir deles podemos determinar a nossa reação nos apoios, beleza? Então vamos lá.

Passo 2

Vale lembrar que dividimos o problema em 4 partes, nessa primeira parte determinamos as duas vigas e o ângulo da viga 1, e na parte 2, ou b, vamos determinar a deformação da viga 1, na parte 3 determinamos o ângulo em A também mas para a viga 2, e na última parte determinamos a deformação da viga 2 e as suas reações? Então vamos lá. Como a nossa viga 1 é isostática, podemos determinar as suas reações de apoio.

∑ M C = 0

- V A 3 L 2 + P L = 0

V A = 2 P L 3 L = 2 P 3

∑ F V = 0

2 P 3 + V c - P = 0

V c = P - 2 P 3 = P 3

Agora perceba o seguinte, suponha que ao invés de termos os apoios em A e C, vamos supor que eles são cargas aplicadas na nossa viga, e que no caso no ponto C temos um engaste, então basta desenharmos o diagrama de cada carga com relação ao ponto C, assim, teremos que:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , referente a cada uma das barras, e assim teremos que:

Passo 3

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de C com relação a A da seguinte maneira:

θ C / A = θ C - θ A

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em A, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ A = θ C - θ C / A

E se multiplicarmos tudo por 3L/2, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo A eu não irei modificar.

3 L / 2 θ A = 3 L / 2 θ C - 3 L / 2 θ C / A

3 L / 2 θ A = y C - y C / A

E sabemos que a deformação em C é zero, assim temos que:

θ A = - y C / A 3 L / 2

E para determinarmos a deformação y C / A precisamos de todas as áreas entre A e C e das distâncias desses centroides ATÉ C, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito C / A . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = P L E I × L × 1 2 = P L 2 2 E I

A 2 = - P L E I × 3 L 2 × 1 2 = - 3 P L 2 4 E I  

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto C, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y C / A = A 1 y 1 + A 2 y 2

y C / A = P L 2 2 E I × L 3 - 3 P L 2 4 E I × L 2

y C / A = P L 3 6 E I - 3 P L 3 8 E I

y C / A = 4 P L 3 24 E I - 9 P L 3 24 E I

y C / A = - 5 P L 3 24 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo, com isso teremos que:

θ A = - y C A 3 L 2 = - - 5 P L 3 24 E I 3 L 2 = 10 P L 2 72 E I = 5 P L 2 36 E I

Resposta

θ A = 5 P L 2 36 E I

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