Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 118

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no ponto médio da viga. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Eaee galera, tudo bem? Bora pra um exercício com carregamento distribuído? Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar encontrando a força nos apoios, nesse caso, como temos um carregamento simétrico aplicado na viga, a reação nos apoios será igual a metade da carga aplicada, ou seja:

A y = E y = 40 ( 3,6 - 1,2 ) 2 → A y = E y = 48   k N

Para encontrar o momento nos pontos B e C, vamos desenhar DCL para essas duas partes. Então, para uma seção de comprimento x entre os pontos A e B, teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M + 10 - 48 x = 0 → M = 48 x - 10

Com 0 < x < 0,6   m . Agora vamos estender essa seção para um comprimento x entre B e C, onde teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M + 10 - 48 x + 0,6 + 40 x x 2 = 0 → M = - 20 x 2 + 48 ( x + 0,6 ) - 10

Agora nós vamos separar os momentos em três partes. A primeira é a parte constante igual a -10 que aparece nas duas seções, essa será uma das áreas do diagrama M/EI. A segunda parte é referente ao momento causado pela reação de apoio, correspondente a 48x na primeira parte e 48(x+0,6) na segunda. E por último temos a parte parabólica referente ao carregamento distribuído, então teremos:

M 1 = - 10   0 < x < 1,8   m

M 2 = 48 x   ( 0 < x < 1,8   m )

M 3 = - 20 x 2   ( 0,6   m < x < 1,8   m )

Passo 3

Agora vamos calcular os momentos nos pontos A e C, onde teremos:

M 1 A = M 1 C = - 10   k N . m

M 2 A = 0

M 2 C = 48 1,8 → M 2 B = 86,4   k N . m

M 3 C = - 20 1,2 2 → M 3 C = - 28,8   k N . m

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 4

Agora, antes de calcular as áreas sob o diagrama, precisamos calcular o termo EI que fica no denominador, consultando o apêndice C, teremos o seguinte momento de inércia para o nosso perfil de viga:

I = 51,2.10 6   m m 4 = 51,2.10 - 6   m 4

Então o termo EI será:

E I = 200.10 9 51,2.10 - 6 → E I = 10,24.10 6   N . m 2 = 10240   k N . m 2

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A 1 = b h = 1,8 - 10 10240 → A 1 = - 1,758.10 - 3

x - 1 = b 2 = 1,8 2 → x - 1 = 0,9   m

A 2 = b h 2 = ( 1,8 ) 86,4 10240 2 → A 2 = 7,594.10 - 3

x - 2 = b 3 = 1,8 3 → x - 2 = 0,6   m

A 3 = b h 3 = ( 1,8 ) - 28,8 10240 3 → A 3 = - 1,6875.10 - 3

x - 3 = b 4 = 1,2 4 → x - 3 = 0,3   m

Passo 5

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2 + A 3

Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico e localizado no centro da viga, teremos:

θ A - 0 = - 1,758.10 - 3 + 7,594.10 - 3 + - 1,6875.10 - 3

θ A = 4,148.10 - 3   r a d

Beleza, vamos pra (b) agora!

Passo 6

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3

Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:

t C - 0 = - 1,758.10 - 3 0,9 + 7,594.10 - 3 0,6 + - 1,6875.10 - 3 0,3

t C =   2,47.10 - 3   m

Fechamos outro!! Valeu pela companhia!!

Resposta

a : θ A = 4,148.10 - 3   r a d

b : t C =   2,47.10 - 3   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 50 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão EB.Primeiro determinar a inclinação do ponto E para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 50 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 52 , determinar a maior deflexão, para baixo, no vão AD.Primeiro determinar a inclinação do ponto A para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 52 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9.5 3 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão DE.Segundo a localização do ponto que ocorre o máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9.5 3 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 52 , determinar a maior deflexão, para baixo, no vão AD.Segundo a localização do ponto que ocorre o máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 52
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9.5 3 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão DE.A intensidade do máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9.5 3 .