Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 133
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto A.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto C para descobrir o valor da reação no ponto B, então teremos:
Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:
Passo 3
Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e C, teremos o seguinte DCL:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:
Com as equações para o momento que encontramos, fica fácil ver que o momento será constante entre os pontos A e B, e depois irá decair linearmente até chegar em 0 no ponto C. Dessa forma, nosso diagrama M/EI será:
Passo 4
Agora vamos calcular os momentos nos pontos E e B para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:
Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:
Passo 5
Tá legal! Nesse caso, a letra (a) nos pede a inclinação no ponto A, e podemos escreve-la como:
No entanto, precisamos encontrar primeiro a inclinação no ponto B, que pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:
E, sabemos que o desvio tangencial do apoio C em relação a B é dado por:
Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Então a inclinação em B será:
Então a inclinação no ponto A será:
Passo 6
No nosso caso, para encontrar a deflexão no ponto A, sabemos que ela será o desvio tangencial de A com relação a B, somado a proporção do desvio de C com relação a B, onde teremos:
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto E. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama , teremos:
Tooop! Terminamos mais um!!