Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 117
Sabendo que a intensidade da força P é de 31,1 kN, determine (a) a inclinação na extremidade A (b) a deflexão na extremidade A e (c) a deflexão no ponto médio C da viga. Use E = 200 GPa.
Passo 1
Opaa! Beleza galera? Ufa, finalmente um exercício sem dados literais, pegue a sua calculadora e vamos nessa! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Tá legal, vamos começar encontrando a força nos apoios, nesse caso, como temos um carregamento simétrico aplicado na viga, a reação nos apoios será igual a metade da carga aplicada, ou seja:
Para encontrar o momento nos pontos B e C, vamos desenhar DCL para essas duas partes. Então, para uma seção de comprimento x entre os pontos A e B, teremos:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:
Com . Agora vamos estender essa seção para um comprimento x entre B e C, onde teremos:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:
Passo 3
Agora vamos calcular os momentos nos pontos B e C, onde teremos:
Agora vamos encontrar o ponto onde temos momento zero na seção entre os pontos B e C, para que possamos desenhar o diagrama M/EI corretamente, então teremos:
Lembrando que essa distância é contada a partir da extremidade A. Então nosso diagrama M/EI será:
Passo 4
Agora, antes de calcular as áreas sob o diagrama, precisamos calcular o termo EI que fica no denominador, consultando o apêndice C, teremos o seguinte momento de inércia para o nosso perfil de viga:
Então o termo EI será:
Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:
Passo 5
Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama , então a inclinação do ponto A será:
Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico e localizado no centro da viga, teremos:
Beleza, vamos pra (b) agora!
Passo 6
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama , e lembrando de somar a porção relacionada a inclinação referente ao ponto A, teremos:
Sabendo que não temos deflexão em B devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:
Beleza! Agora falta só a letra (c), bora lá!
Passo 7
Agora, utilizando o teorema do segundo momento de área novamente, só que agora entre os pontos A e C para encontrar a deflexão em C, lembrando que nesse caso não temos inclinação no ponto C, devido a simetria do carregamento, então o segundo momento de área será:
Substituindo os valores conhecidos, teremos:
Tooop! Terminamos mais um!!