Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 146
Para a viga e o carregamento do Problema 9.138, determine a maior deflexão para cima no vão AB.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:
E, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:
Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:
Passo 3
Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e D, teremos o seguinte DCL:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:
Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em quatro partes, o causado pela força reação de apoio em A, que chamaremos de momento 1, o causado pelo carregamento distribuído entre A e B, que chamaremos de momento 2, e o causado pelo carregamento distribuído, mas agora sob a porção B e D (que será linear nessa parte), que chamaremos de momento 3, e o causado pela reação de apoio em B, que será o nosso momento 4, então teremos:
Passo 4
Agora vamos calcular os momentos nos pontos B e D para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:
Então nosso diagrama M/EI será:
Passo 5
Agora vamos precisar calcular o termo EI. Para isso, vamos começar indo lá no apêndice C para pegar o momento de inércia para a nossa viga, onde teremos:
Então o termo EI será:
Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:
Passo 6
Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:
E, sabemos que o desvio tangencial do apoio A em relação a B é dado por:
Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Então a inclinação em A será:
Passo 7
Agora, sabemos que a deflexão será máxima quando a inclinação for igual a zero, então vamos escrever a equação para a inclinação em um ponto K qualquer com relação ao ponto A, onde teremos:
Então, sabendo que a inclinação corresponde a área embaixo da curva M/EI, dessa forma teremos:
Então, substituindo as expressões conhecidas, teremos:
Substituindo essa expressão na equação para teremos:
Agora para descobrir a localização da deflexão máxima, vamos igualar essa equação a zero, e teremos:
Opa, pra resolver essa equação cúbica, vamos precisar do auxílio de uma calculadora ou algum software, para que então cheguemos na seguinte raiz:
Beleza, agora só falta encontrar a deflexão máxima, bora lá!
Passo 8
Agora, para calcular a deflexão nesse ponto, usaremos o teorema do segundo momento de área, onde teremos:
Substituindo os valores conhecidos, e sabendo que não temos deflexão no ponto A devido ao apoio, teremos:
Substituindo o valor encontrado para e resolvendo a expressão, chegaremos em:
Tooop! Terminamos mais um!!