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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 148

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a reação no apoio móvel.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < L / 2 , orientado da direita para a esquerda, para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

- M + B y x = 0 → M = B y x

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre C e A, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

- M + B y x + L 2 - M 0 = 0

M = B y x + L 2 - M 0  

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em duas partes, o causado pela força reação de apoio em B, que chamaremos de momento 1, o causado pelo momento localizado em C, que chamaremos de momento 2, então teremos:

M 1 = B y x   0 < x < L

M 2 = - M 0   L 2 < x < L

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos no ponto A para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 A = B y L → M 1 A = B y L

M 2 A = - M 0

Então nosso diagrama M/EI será:

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = L B y L E I 2 → A 1 = B y L 2 2 E I

x - 1 = b 3 = L 3 → x - 1 = L 3

A 2 = b h = L 2 - M 0 E I → A 2 = - M 0 L 2 E I

x - 2 = b 2 = L / 2 2 → x - 2 = L 4

Passo 5

Agora, usaremos o teorema do segundo momento de área, onde teremos:

t B / A = A B A x - + θ A L → t B - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + θ A L

Beleza, agora como sabemos que não teremos inclinação e nem deflexão no ponto A, já que temos um engaste, e que não teremos deflexão no ponto B, devido ao apoio, a equação acima se torna:

0 - 0 = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + 0 L → A 1 x - 1 + A 2 x - 2 = 0

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos em:

B y L 2 2 E I L - L 3 + - M 0 L 2 E I L 2 + L 2 - L 4 = 0 → B y L 3 3 E I = 3 M 0 L 2 8 E I

B y = 9 M 0 8 L

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

B y = 9 M 0 8 L

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