Uma viga de madeira está sendo projetada para ser vinculada e carregada conforme mostra a figura. (a) Usando funções de singularidade, encontre a intensidade e a localização do momento fletor máximo na viga. (b) Sabendo que o estoque disponível consiste em vigas com uma tensão admissível de 12 MPa e seção transversal retangular de 30 mm de largura e altura h variando de 80 mm até 160 mm com incrementos de 10 mm, determine a seção transversal mais econômica que pode ser utilizada.

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

Substituindo a expressão para e resolvendo a integral, chegamos em:

A constante de integração nesse caso corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, no nosso caso, temos somente , então nossa constante será:

Então, nossa equação para a força cortante será:

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

Agora, substituindo a expressão encontrada para no passo 1, a equação acima se torna:

Resolvendo a integral, teremos:

Em que é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

Então a equação do momento será:

Agora para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Para isso, vamos igualar a derivada da função momento (que é a própria equação da força cortante) a zero, e encontrar a localização do momento máximo. Fazendo isso, teremos:

Nesse caso, como estamos trabalhando com a função de singularidade, precisamos dividir a função nos intervalos para calcular separadamente o valor de máximo para cada intervalo. Então, começando pelo primeiro intervalo, em teremos:

O valor de encontrado está fora do intervalo de análise, dessa forma não temos um ponto de máximo nesse intervalo. Vamos agora considerar o intervalo , onde teremos:

É isso mesmo que você está pensando! Vamos precisar usar bháskara para encontrar o valor de , lembrando da sua fórmula:

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

Opa! Dentre os dois valores possíveis, somente um deles está dentro do intervalo que estamos analisando. Então essa será a localização do momento máximo. Agora para encontrar seu valor, basta substituir essa posição de na equação que encontramos para o momento lá no passo 3. Então, fazendo isso, teremos:

Beleza! Agora para a letra (b), nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

O enunciado nos fornece uma viga de perfil quadrado. Para esse perfil, sabemos que o momento de inércia é dado por:

Sabemos também que a distância será metade da altura da viga, já que a tensão máxima irá ocorrer na extremidade da viga. Dessa forma, substituindo essas informações na equação da tensão, ela se torna:

Agora, vamos substituir os valores conhecidos nessa equação e encontrar o valor mínimo de para a viga:

Opa! Ainda não acabamos, o enunciado nos disse que a altura da viga pode variar de 80 até 160 mm, com incrementos de 10 mm. Nesse caso, como precisamos de no mínimo 113,619 mm, devemos escolher uma viga com:

Esse valor de garante a tensão admissível dada no enunciado e também atende ao incremento de 10 mm na altura dado no enunciado.