Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 131
A viga AB, consistindo em uma placa de alumínio de espessura uniforme b e comprimento L e, deve suportar a força mostrada. (a) Sabendo que a viga deve ser de resistência constante, expresse h em termos de x, L e para a parte AC da viga. (b) Determine a força máxima admissível se L = 800 mm, = 200 mm, b = 25 mm e = 72 MPa.
Passo 1
Tá legal! Nesse exercício, não precisamos encontrar nenhuma reação de apoio para o sistema. Aqui nós vamos utilizar as equações de singularidade para encontrar o carregamento, a força cortante e o momento fletor. Então, através do carregamento do enunciado, podemos escrever o carregamento em função da distância da seguinte forma:
Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:
Substituindo a expressão para e resolvendo a integral, chegamos em:
Passo 2
Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:
Isolando as variáveis dessa equação, temos:
Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:
Agora, substituindo a expressão encontrada para no passo 1, a equação acima se torna:
Resolvendo a integral, teremos:
Agora nós podemos encontrar os valores das constantes de integração, já que temos duas condições de contorno, que são os momentos nas extremidades da barra, que são iguais a zero, então temos:
Substituindo a primeira condição, temos:
E, da segunda condição, temos:
E, dessa forma, a equação do momento será:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a equação 5.18 vista nessa seção para escrever o módulo de resistência da viga, que será dado por:
Substituindo a expressão para o momento na equação para o módulo de resistência, teremos:
Agora, lembrando que o módulo de resistência para uma seção transversal retangular é dado por:
Podemos igualar as duas expressões encontradas para , fazendo isso, teremos:
Agora, isolando dessa equação, chegaremos em:
Passo 4
Ainda estamos na letra (a), vamos lá! Para escrever h em termos de x, L e , está faltando determinar o , que ocorre em , então, vamos substituir esse valor de na equação que encontramos para , chegando em:
Agora precisamos dar um jeito de fazer esse termo aparecer lá na equação de . Para isso, vamos dividir a equação de por dos dois lados, dessa forma, teremos:
Tá aí! Essa é a expressão que queríamos pra .
Passo 5
Agora para resolver a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para :
Vamos isolar o carregamento :
E vamos substituir os valores fornecidos no enunciado, chegando na força máxima admissível: