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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 35

Um volante está montado em um eixo vertical, como mostra a Figura 2.65. 0 eixo tem diâmetro d e comprimento l e é fixo em ambas as extremidades. 0 peso do volante é W, e seu raio de giro é r. Determine a frequência natural das vibrações longitudinal, transversal e torcional do sistema.

Passo 1

Vem comigo resolver mais uma questão :D então vamos começar trazendo umas equações do livro :D

Consideramos a vibração longitudinal

Deixe w 1 = parte do peso W carregado pelo comprimento a da haste

W 2 = W - W 1 =  peso carregado pelo comprimento  b

X=comprimento da elongação a = W 1 a A E

Passo 2

Encurtamento do comprimento é dado por:

b = W - W 1 ( l - a ) A E

Onde:

E = módulo de Young

A – área da secção cruzada = π d 2 / 4

Uma vez que x = y ,       W 1 = W ( l - a ) l

X = elongação ou deflecção estática do comprimento

a = W a ( l - a ) A E l

Considerando a haste de comprimento a com massa final w 1 / g como sistema massa-mola

ω n = g x = g l A E w a ( 1 - a ) 1 / 2

Passo 3

Vibração transversal é obtida a partir da Mola constante de um feixe fixado com carga fora do centro

= k = 3 E I l 3 a 3 b 3 = 3 E I l ' a 3 ( 1 - a ) 3

ω n = k m = 3 E I l 3 g W a 1 ( 1 - a ) 3 1 / 2  com  I = π d 4 / 64

Passo 4

Vibração torcional, consideramos então se o volante é dado com deflecção angular o, torques resistidos oferecidos pelo comprimento a e b são G J θ a  e  G J θ b .

Resistência total do torque

M t = G σ 1 a + 1 b θ

k t = M t θ = G J 1 a + 1 b em que J = π d 4 3 =  polar

Momento de inércia

ω n = k t σ 0 = G J σ 0 1 a + 1 b 1 / 2

Em que σ 0 = momento massa polar de inércia do volante

Resposta

Longitudinal : ω n = g x = g l A E w a ( 1 - a ) 1 / 2

Transversal: ω n = k m = 3 E I l 3 g W a 1 ( 1 - a ) 3 1 / 2  com  I = π d 4 / 64

Torcional ω n = k t σ 0 = G J σ 0 1 a + 1 b 1 / 2

Ver Outros Exercícios desse livro