A elutriação é um processo de separação sólido-sólido em que um fluido em escoamento arrasta partículas seletivamente, de acordo com a sua densidade e tamanho. Esse fluido pode ser um gás ou um líquido!
Bora entender melhor como esse processo ocorre na prática?!
Como podemos observar na figura acima, as partículas e o fluido, que nesse caso é um gás, entram no elutriador pela lateral. Dentro do elutriador vai ter um cabo de guerra! O fluido vai querer arrastar as partículas pra cima, enquanto a gravidade puxa elas pra baixo!
-E quem ganha esse cabo de guerra?!
Isso vai depender do tamanho e da densidade das partículas. As partículas mais leves vão ser arrastadas pelo fluido, enquanto as partículas mais pesadas saem na base do elutriador! E é assim que ocorre a separação de partículas! 😍
-Beleza, mas como eu sei que tamanho de partículas vão subir e qual vão decantar? 😖
Pra saber isso e muito mais, confere esse vídeo completaço sobre elutriação que o Responde Aí preparou pra você! 👇
Curva de Eficiência Granulométrica
Se considerarmos o elutriador como um equipamento ideal, temos a seguinte curva de eficiência granulométrica:
Curva de Eficiência Granulométrica do Elutriador Ideal
A curva de eficiência granulométrica nos dá a eficiência de separação para cada diâmetro de partícula. Chamamos o diâmetro de corte o diâmetro para o qual a velocidade terminal é igual a velocidade média do fluido.
Se o diâmetro de uma partícula for menor que o diâmetro de corte ela é arrastada, nesse caso temos uma eficiência de separação de 100%. Partículas menores que o diâmetro de corte são sedimentadas e temos uma eficiência de separação de 0%.
Exemplo: Mistura de Dois Materiais com Densidades Diferentes
Vamos supor que a gente precisa separar cloreto de cálcio e cloreto de zinco, de uma certa faixa de diâmetros, usando elutriação. Será que é possível separar os dois componentes completamente? Qual deverá ser vazão de fluido usar pra separação?
Para responder essas perguntas, precisamos fazer algumas análises! Em primeiro lugar, precisamos procurar a densidade dessas duas substâncias:
O cloreto de cálcio será a partícula leve, afinal sua densidade é menor, e o cloreto de zinco será a partícula pesada. Podemos então calcular a velocidade terminal de stokes de cada partícula, usando a seguinte fórmula:
A partir disso temos duas situações possíveis. Vamos conferir!
Primeira situação :
Nesse caso a velocidade terminal da menor partícula pesada é maior que a velocidade terminal da maior partícula leve. Nesse caso, vamos conseguir separação completa se usarmos:
$$v_{tLmáx}
Olha só como fica analisamos o gráfico de velocidade terminal versus diâmetro, temos:
gráfico de velocidade terminal versus diâmetro para o primeiro caso
Repara que a curvas das velocidades da partícula pesada é sempre a de cima, porque a densidade dela é maior e, para um mesmo diâmetro, quanto maio a densidade maior a velocidade terminal.
Essa condição de está atrelada à faixa de diâmetros que pegamos; para esse mesmo gráfico, pegando outra faixa de diâmetros, pode ser que essa condição não aconteça.
Segunda situação : $v_{tP mín}
Nesse caso a velocidade terminal da menor partícula pesada é menor que a velocidade terminal da maior partícula leve. Isso significa que não é possível separar completamente os dois tipos de partícula.
Podemos observar o comportamento das partículas no gráfico abaixo:
gráfico de velocidade terminal versus diâmetro para o primeiro caso
Repara que tem um faixa de velocidades associada tanto com partículas leves como com partículas pesadas!
Agora vamos praticar com exercícios?
Curva de Eficiência Granulométrica
Exemplo: Mistura de Dois Materiais com Densidades Diferentes
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Defina o conceito de partículas equitombantes e deduza a partir delas uma razão de sedimentação entre seus diâmetros.
Passo 1
Vamos lá! Essa é uma questão teórica e de dedução, mas que é super importante para verificar se os conceitos de elutriação ficaram claros. Além disso, eu já vi essa razão de sedimentação ser cobrada em prova.
Para chegarmos nesse conceito, temos que partir da definição que quando partículas de leve e pesado, sob as mesmas condições, caem com a mesma velocidade termnal podemos chamá-las de equitombantes. Então:
Uma das formas de escrever a velocidade terminal utiliza o referente as forças de arraste. Essa equação tem a seguinte cara:
Então, igualando para o leve e pesado:
Isolando os diâmetros:
Beleza, chegamos na definição de .
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Determine a partir de qual diâmetro uma amostra de um sólido com , que será submetida a elutriação gravitacional por uma corrente de água que escoa a uma velocidade de na Temperatura de , irá ser destinada a corrente de fundo.
Passo 1
Nessa questão, não temos a velocidade das partículas, só do fluido. Então, teremos que determinar a condição limite, ou seja, quando as duas são iguais.
Então vamos ter um diâmetro de corte ( vamos considerar as 10 restrições de stokes) para calcular a partir de qual diâmetro partículas vão para o fundo e abaixo de qual elas sobem, beleza?
Vamos organizar os dados que a questão forneceu:
Foi dado o , então conseguimos achar o .
Só mais uma coisinha, foi dado que a temperatura era de , então podemos pegar em tabelas as propriedades da água nessa temperatura:
Passo 2
Vamos começar então calculando o diâmetro de stokes. Para isso, vamos isolar o diâmetro da fórmula de velocidade de stokes.
Para o nosso sólido:
Passo 3
Vemos pela fórmula da velocidade terminal de stokes que quando o diâmetro aumenta, a velocidade também aumenta.
Então
Resposta
Exercício Resolvido #3
Livro Sistemas Particulados – Operações Unitárias Envolvendo Partículas e Fluidos – Professor Ricardo Pires Peçanha.
Uma mistura de galena () e sílica () será submetida a elutriação gravitacional por uma corrente de água que escoa a uma velocidade de na Temperatura de . A mistura tem 30% de massa de galena e a seguinte análise granulométrica com peneiras padronizadas:
Se a distribuição de tamanhos anterior se aplica tanto à galena quanto à sílica, pede-se:
Calcule as percentagens ponderais da galena, originalmente presente na alimentação, que irão para o topo e fundo do elutriador.
Calcule a fração ponderal de galena nessas correntes (base seca).
Passo 1
Nessa questão, precisamos encontrar o quanto de galena e sílica foi para o topo e fundo do elutriador, certo?
Mas como fazer isso a partir da distribuição de tamanho (DT) dada?
Nesse tipo de problema, já temos a velocidade e precisamos encontrar o diâmetro para cada amostra que acima dele a partícula vai para o fundo e abaixo dele a partícula vai para o topo! Isso tem que ser feito para cada um dos sólidos 😊 E depois relacionamos com a DT.
Vamos organizar os dados que a questão forneceu:
Foi dado tanto o da sílica quanto da galena, conseguimos achar o de cada uma.
Outra coisa, já que não foi dada a esfericidade e não temos como calcular, vamos assumir que a partícula é esférica e atende todas as restrições de stokes, beleza? E isso significa que podemos fazer mais uma simplificação:
Só mais uma coisinha, foi dado que a temperatura era de , então podemos pegar em tabelas as propriedades da água nessa temperatura:
Passo 2
Vamos começar então calculando o diâmetro de stokes para cada um dos materiais. Para isso, vamos isolar o diâmetro da fórmula de velocidade de stokes.
E repara que só temos a velocidade do fluido, que é diferente da velocidade das partículas, mas sabemos que que elas tem a seguinte relação:
Então se a gente achar o diâmetro de stokes para a partícula exatamente na velocidade do fluido, vamos saber que a partir daquele diâmetro ela vai descer e abaixo dele vai subir! Então, estamos estudando o caso que:
Para a galena:
Para a sílica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar a distribuição de tamanho de partícula e relacionar com esses diâmetros que calculamos.
Lembra que como consideramos esféricas igualamos o diâmetro de stokes e da peneira, então não precisamos converter eles para compará-los! Então, o diâmetro da galena, ,fica ali entre e . E o diâmetro da sílica, , fica entre e
Então, podemos fazer uma interpolação para descobrir o relativo a cada diâmetro.
Para a Galena:
Para a Sílica:
LEMBRETE: O valor de representa a amostra menor que dado diâmetro então esse está relacionado com as partículas que vão subir!
Passo 4
Agora, vamos assumir uma base mássica de cálculo.
Como temos de galena, podemos definir a massa de galena e massa de sílica.
Então, vamos definir a massa de sílica e galena que é menor /maior que o diâmetro calculado para cada uma?
Fazendo da mesma forma para sílica:
Passo 5
Já calculamos quase tudo, então para resolver a letra a) precisamos definir a percentagem de galena (EM RELAÇÃO À ALIMENTAÇÃO) no topo e fundo.
Repara que a porcentagem no topo é o mesmo valor que calculamos do , isso ocorre pois a curva representa valores menores ( e tem a mesma densidade, já que estamos falando só da galena) que um dado diâmetro, então como são menores são mais leves e vão para o topo!!
Passo 6
Na letra b), precisamos calcular a fração ponderal de galena nas correntes de saída! Então, vamos calcular a massa total dessas saídas:
Então, a massa total do topo:
E a do fundo:
Logo, bora calcular as percentagens de galena no topo e fundo!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Pretende-se tratar uma corrente industrial com de ar a e contendo partículas de um certo material (densidade: e esfericidade: ), utilizando-se elutriador.
Sabendo que o elutriador captura todas as partículas maiores que , calcule:
O diâmetro do elutriador
Sua eficiência total de separação
Dados:
e
Passo 1
A gente vai ter que calcular o diâmetro e eficiência total de um elutriador. A informação que temos pra usar é o diâmetro de corte:
Para ele:
Daí, achando , achamos . Como:
Com sendo a vazão volumétrica e a área transversal do elutriador.
Poderemos achar o diâmetro do elutriador, já que temos
.
Já a eficiência global, obtemos achando e depois usando:
O enunciado NÃO deu a densidade do gás, mas deu as condições dele
e 1 atm
Assumindo gás ideal, vale:
Podemos escrever o número de moles como , com sendo massa de gás e sendo a massa molecular média. Rearranjando:
Trabalhando no CGS e usando em Kelvin:
Passo 2
O diâmetro do elutriador
Começando pelo começo, achar esse diâmetro. Vamos ter que usar as correlações de Coelho e Massarani, como não sabemos o regime de escoamento; como precisamos achar e temos o diâmetro:
Usando tudo no CGS:
Agora, para achar , usamos:
Mas, primeiro, temos que calcular e , que ainda não temos. O enunciado deu que a esfericidade vale .
Voltando:
Usando a definição de Reynolds:
Passo 3
Usando
Podemos determinar o diâmetro do elutriador:
Usando no CGS, também, pra compatibilizar as unidades:
Daí:
Passo 4
Assumindo elutriador ideal, vale:
Como vamos, depois, ter que integrar em , bora expressar esses limites em termos de logo. Nos foi dado que:
Usando :
Daí:
Agor é só integrar em e obtemos :
Como é definida em dois intervalos, temos que integrar dividindo nesses dois intervalos também:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Massarani, G. (
2002
). Fluidodinâmica em Sistemas Particulados,
2
a
e
d
.
Foram os seguintes resultados obtidos na elutriação de de um pó industrial com água a , numa vazão de :
Determinar a distribuição granulométrica da amostra, sabendo-se que e .
Passo 1
Nessa questão, nosso objetivo é determinar a distribuição granulométrica da amostra; nem precisamos calcular a curva , basta entregar uma tabela relacionando diâmetros e . Mas vamos por partes.
Primeiro de tudo, vou trabalhar no CGS, daí sempre que aparecer algo que não está no CGS eu vou convertendo. A vazão é constante em todos os elutriadores, ; o que muda de um elutriador para outro a velocidade média do fluido, já que a área transversal dos elutriadores muda, já que o diâmetro muda.
Daí:
Como , podemos montar uma tabela com os valores de para cada elutriador.
Repara que, conforme o diâmetro do elutriador vai aumentando, como a vazão é constante, a velocidade média do fluido vai diminuindo, permitindo que partículas menoressedimentem, já que elas têm velocidades terminais menores. O que eu quero dizer com isso é que, no primeiro elutriador, vamos ter partículas maiores; no último, as menores. Dessa forma, essa massa de recolhida no primeiro elutriador é de partículas maiores que a partícula que tem e o somatório das massas dos elutriadores 2, 3 e 4 é de partículas com diâmetro menor que essa tal partícula que tem .
Mas antes de começar as contas, precisamos de todos os dados; sobre as partículas, sabemos que e , mas, sobre o fluido, apenas sabemos que este é água à . Precisamos procurar as propriedades. Procurando: e .
Passo 2
Precisamos determinar que são as partículas que têm essas velocidades terminais que aparecem na nossa tabela. Como não sabemos o regime de sedimentação, vamos utilizar Coelho e Massarani e, como temos e queremos , vamos por:
Achado , usamos, para achar o :
E, para isso, precisamos de e , que vão ser os mesmos para todas as partículas, já que todas possuem a mesma esfericidade, , e seus valores são:
Uma vez obtidos os valores de para cada uma das partículas “limite”, achamos o diâmetro delas usando a definição de :
Calculando pra cada uma delas:
Passo 3
Agora precisamos relacionar esses diâmetros “limite” com valores de ou . Antes de qualquer coisa, precisamos saber a massa total da amostra, que foi dada: .
No elutriador , sabemos que do foram recolhidas, ou seja, sedimentaram. Essas partículas possuem velocidades terminais maiores que e, consequentemente, , ou seja, está associado com:
E, como :
Para o elutriador , temos que nos atentar que as partículas maiores que são não só as que da massa que sedimenta no elutriador , mas a que sedimenta no primeiro também! Daí:
Da mesma forma, para o , as partículas maiores que são as da massa que sedimenta nos elutriadores e . Daí:
Para o , as partículas maiores que são as da massa que sedimenta nos elutriadores 3 e . Daí:
Resposta
Exercício Resolvido #6
UFRJ – Medronho, Lista 2
Pretende-se tratar uma corrente industrial com de ar a e contendo finos de carvão (densidade: e esfericidade: ), utilizando-se o seguinte sistema (elutriador e câmara de poeira em série):
Sabendo-se que o elutriador captura todas as partículas maiores que e que a eficiência de separação de uma partícula de na câmara de poeira é igual a , pede-se:
O diâmetro do elutriador e sua eficiência total de separação.
A eficiência total de separação da câmara de poeira.
A eficiência global do processo.
Dados:
e
Dica: Uma suspensão que passa por um equipamento de separação tem, obviamente, sua distribuição de tamanhos de partícula alterada, uma vez que o equipamento irá capturar parte das partículas presentes, preferencialmente as mais grossas. Se o separador é ideal e a distribuição granulométrica é dada pelo modelo GGS, o único parâmetro do modelo que sofre alteração é o tamanho da maior partícula presente, isto é, o muda e o não.
Passo 1
Temos dois equipamentos em série, um elutriador e uma câmara de poeira, sendo que o overflow do elutriador é que vai pra a câmara de poeira.
As duas primeiras perguntas do enunciado focam nos equipamentos em separado, já o último item pede a eficiência global, daí vamos ter que usar:
Com:
Em que é o elutriador e a câmara de poeira.
AHH! Uma coisa importante: o enunciado NÃO deu a densidade do gás, mas deu as condições dele
e 1 atm
Assumindo gás ideal, vale:
Podemos escrever o número de moles como , com sendo massa de gás e sendo a massa molecular média. Rearranjando:
Trabalhando no CGS e usando em Kelvin:
Passo 2
a) O diâmetro do elutriador e sua eficiência total de separação.
Nos foi informado que o elutriador deverá capturar todas as partículas maiores que . Daí, vamos analisar o limite, que é a partícula de . Para ela:
Daí, achando , achamos . Como:
Com sendo a vazão volumétrica e a área transversal do elutriador.
Poderemos achar o diâmetro do elutriador, já que temos
.
Ok! Então bora encontrar . Vamos ter que usar as correlações de Coelho e Massarani. Como temos e queremos :
Usando tudo no CGS:
Agora, para achar , usamos:
Mas, primeiro, temos que calcular e , que ainda não temos. O enunciado deu que a esfericidade vale .
Voltando:
Usando a definição de Reynolds:
Passo 3
Agora que temos e sabemos que
Podemos determinar o diâmetro do elutriador:
Usando no CGS, também, pra compatibilizar as unidades:
Daí:
Passo 4
Ainda falta calcular a eficiência total no elutriador, mas, antes, a gente tem que ver . No elutriador vale:
E, nessa questão:
Agora, pra achar a eficiência total, temos que integrar:
E repara duas coisas:
1. A integral é em termos de e NÃO de , daí temos que determinar o do , que será o divisor dos intervalos
2. é definida em dois intervalos, daí a integral também terá de ser dividida
Vamos um por um então. Usando a equação de fornecida:
Para
Daí ficamos com:
E a integral fica:
Passo 5
b) A eficiência total de separação da câmara de poeira.
Agora partimos pra câmara de poeira. Vamos com calma. Primeiro de tudo, bora lembrar a definição de eficiência:
Massss essa entrada aí é a entrada do equipamento. O que entra na câmara de poeira NÃO é o que entra lá no começo e sim o que NÃOOOO foi coletado no elutriador, isto é:
Como , o que entra na câmara é do alimentado inicialmente.
E com isso achamos o denominador.
Para achar o numerador, teremos que ver quanto é coletado a câmara de poeira. Usando a mesma equação pra , o que vai mudar são os limites de integração pois na câmara de poeira só estão entrando partículas entre e , certo? As maiores de já foram coletadas no elutriador.
Em termos de , isso fica:
Daí a entrada da câmara de poeira compreende:
E para achar o que captura nela , é só integrar em , usando a equação de original, mas usando esses limites aí:
Mas, antes, temos que saber quem é o , certo?
Para câmara de poeira, vale:
Não temos nenhuma informação das dimensões da câmara e o exercício não é de dimensionamento... NÃO é conveniente trabalhar com essas equações, dessa forma; é melhor trabalhar com ela adimensional:
O que sabemos é que a eficiência de separação de uma partícula de na câmara de poeira é igual a . Repara que ele está falando de , pois amarrou eficiência para um dado diâmetro.
Usando a equação de para , conseguimos achar :
Mas os limites de envolvem , né? Precisamos achá-lo. Vimos, na teoria, que usando essa fórmula aí de dá pra chegar em:
Daí:
Portanto:
Em termos de :
Passo 6
Agora é só integrar. Como está definida em dois intervalos, dividimos a integral em dois intervalos também:
Repara que ainda temos que colocar em função de . Estamos considerando da alimentação original o tempo todo então é ele que vamos usar agora também:
Daí:
Integrando:
E esse é o numerador! Repara que chamei de e não de . Esse valor é quanto da alimentação original é capturado na câmara de poeira, mas o enunciado pede qual a eficiência da câmara de poeira, dai, quanto é capturado nela em relação ao que entra nela. Voltando pra fórmula que vimos no outro passo:
Eu prefiro seguir por esse caminho que eu fiz, mudando os limites de integração e mantendo a expressão de , mas outra opção seria usar aquela dica do enunciado e mudar a expressão de , mantendo os limites e .
Passo 7
c) A eficiência global do processo.
Já temos as eficiências totais e por tamanho de cada equipamento, mas agora temos que calcular a eficiência global do processo. Pra isso, é só usar:
Com:
O lance é que vamos ter que dividir em intervalos porque os ’s estão definidos em intervalos.
