Reta de Regressão
Teoria
Covariância e correlação
Como a gente já viu antes, as vezes, a gente se interessa por mais de uma característica de um mesmo coisa e precisamos estudar como elas se relacionam.
Por exemplo, podemos determinar a marca de um carro e o tipo de combustível que ele usa, entende? Ou, como na tabela abaixo por exemplo, que mostra a evolução de casos de Malária no decorrer das semanas.
Um bom jeito de descobrir como essas características se relacionam: o passar das semanas e o número de casos da doença, é fazendo um diagrama de dispersão.
No gráfico a gente percebe que quanto mais as semanas passam menos casos são observados. Pequenos valores pras semanas se relacionam a grandes valores no número de casos e vice e versa.
A medida que a gente usa pra saber esse tipo de comportamento é a covariância amostral:
Haha, achou que as fórmulas iam parar? Que iam diminuir? Deal with it!
Nós do responde aí estamos aqui pra te ajudar, relaxe.
Voltando... covariância é negativa se acontece igual no nosso exemplo, uma tendência decrescente. Se a tendência for crescente, covariância positiva, e se num tiver tendência de nada, covariância é zero.
Outra medida que podemos fazer pra relacionar duas variáveis de uma mesma amostra é o coeficiente de correlação:
e são os desvios padrões.
Esse aí vai sempre estar entre e ! Quanto mais próximo o módulo da correlação for de , mais linear é a relação entre e .
Se ele for positivo, quando uma cresce, a outra deve crescer junto. Se for negativo, quando uma cresce, a outra diminui.
E se for quer dizer que e são independentes!
Uma observação interessante é que a covariância e a correlação mede apenas a relação linear entre as variáveis! Então se eles tiverem, por exemplo, uma relação exponencial, isso não será refletido nessas medidas.
Ah e não abra essa fórmula da correlação, você vai encontrar algo ainda mais assustador que na da covariância. Calcule cada coisa separado e depois junte.
reta de regressão
Reta de regressão é a reta que melhor representa como as variáveis variam uma com a outra. A gente tem a equação da reta:
Esse “erro” aí é só porque a relação nem sempre é perfeitamente linear, mas não se preocupe com isso.
No nosso exemplo a reta seria mais ou menos assim:
Nosso trabalho então é encontrar os valores de e de :
Já com o valor de , partiu encontrar o :
mede o coeficiente angular da reta e é o valor que a reta corta o eixo , só lembrando.
O lado bom de ter a equação da reta, é que você pode determinar o valor de para qualquer valor de que você queira e vice e versa.
reta de regressão
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Foram observados 4 lotes aleatórios de sucos concentrados, cada um com a sua respectiva quantidade (em mg) por pacote e a quantidade de água necessária (em ml).
Estime os parâmetros da reta de regressão . Onde é a quantidade em mg.
Passo 1
Bom, pra fazer isso a gente só vai precisar aplicar fórmulas.
Sendo que...
Então, eu num vou fazer todas essas contas passo a passo não.
Com isso...
Passo 2
Pra calcular o ...
Substituindo os valores na fórmula..
Resposta
Exercício Resolvido #2
João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 286.
Em seu livro Uncertainties analysis, loads and safety in Structural Engineering (Prentice Hall, 1982) – em português, Análise de incertezas, cargas e segurança em Engenharia de Estruturas -, Gary C. Hart apresenta o conjunto de dados a seguir, que nos permite investigar a relação de dependência entre duas propriedades mecânicas do concreto: módulo secante (em psi) e força de compressão (em psi).
- Obtenha um diagrama de dispersão relativo a esses dados;
- Calcule o coeficiente de correlação entre e ;
- Ajuste os dados a reta de regressão .
Passo 1
(a)
Diagrama de dispersão é colocar os pontos num gráfico;
Passo 2
(b)
Coeficiente de correlação é a fórmula:
Então vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 3
Passo 4
Agora .
Passo 5
Agora sim:
Relaxe, dependendo dos seus arredondamento seu resultado pode ter dado um pouco diferente.
Passo 6
(c)
Vamos ajustar a reta, pra isso temos que calcular os coeficientes e :
Nossa reta de regressão seria então: