Teoria

Introdução à Regressão Linear

Fala Aíí!!! Digamos que a gente tem o seguinte cenário: Temos uma variável x   que representa o número de gols que um time marcou em uma partida e a variável y o número de tentativas que foram feitas. Observe a tabela com os dados obtidos até o final do campeonato:

Podemos colocar os valores da tabela num gráfico que chamaremos de gráfico de dispersão. Teremos algo desse tipo:

Se alguém te pedisse para encontrar a equação que melhor representa essa situação, você saberia como fazer isso?

Olhando para o gráfico, os pontos dispersos estão quase formando uma linha reta certo? Não seria exagero pensar que a equação que melhor representa essa situação será o de uma reta:

O que a gente faz em regressão linear é exatamente encontrar uma reta dessas! Beleza?!

O que a gente tem que ter na cabeça antes de ir às contas é o seguinte:

  • Cada ponto ( x , y ) dessa figura é composto de duas variáveis, que são nossos dados.
  • O que a gente tá fazendo ao encontrar essa reta é tentando relacionar uma variável à outra, através de uma equação. A fórmula é a seguinte:
  • Y = α X + β + e

  • Onde:

α : c o e f i c i e n t e   d e p e n d e n t e

β : c o e f i c i e n t e   i n d e p e n d e n t e  

e : e r r o

Não precisa encrencar com esse erro não! É bom representar ele nas nossas respostas finais só pra ficar matematicamente correto, mas não precisamos calcular nada sobre ele.

Beleza, mas na prática como encontramos a equação dessas retas?

Encontrando a equação da reta

Exemplo

Em uma pesquisa deseja-se encontrar a taxa de mortalidade infantil com a taxa de analfabetismo do país. Qual a reta de regressão que descreve melhor a taxa de mortalidade infantil em função do analfabetismo?

Para resolver esse problema, faz sentido estabelecermos duas variáveis:

  • Taxa de Analfabetismo
  • Taxa de Mortalidade Infantil

Concorda?!

Tem-se os seguintes dados:

Beleza, mas antes de começar precisamos responder uma pergunta que nos ajudará a encontrar a reta: qual é nossa variável dependente e qual nossa variável independente?

Lembra que a fórmula da reta seria algo desse tipo:

Y = α X + β + e

Note que o valor de Y está dependendo do valor de X! Por isso chamamos Y de variável dependente e x de variável independente. Show de bola?!

No nosso caso queremos relacionar a taxa de mortalidade com a taxa de analfabetismo, ou seja, como a taxa de analfabetismo interfere na taxa de mortalidade.

Podemos dizer então que a taxa de mortalidade será nossa variável dependente (porque vai sofrer alterações com os números de analfabetos) e a taxa de analfabetismo será nossa variável independente.

X :   T a x a   d e   A n a l f a b e t i s m o

Y :   T a x a   d e   M o r t a l i d a d e   I n f a n t i l

Podemos montar outra tabela agora dessa forma:

Agora vamos encontrar os coeficientes da equação da reta seguindo o passo a passo!

Lembrando que a equação deve ter uma carinha como essa:

Y = α X + β + e

Passo 1)

Para montarmos a função temos que descobrir o valor dos parâmetros α e β .

Infelizmente teremos mais fórmulas:

α = n   .   ∑ x i y i - ∑ x i . ∑ y i n . ∑ x i 2 - ∑ x i 2

β = y _ - α x _

Masôqueee? Relaxa! Vamos ver direitinho o que cada termo aí dentro significa.

O n é o número de elementos da nossa amostra. Como nosso quadro nos dá informações sobre 5 regiões do país, n = 5 . Os x i e y i são os dados individuais de cada variável. E x _   e y _ são as médias amostrais desses dados.

Vamos começar com o α :

α = n   .   ∑ x i y i - ∑ x i . ∑ y i n . ∑ x i 2 - ∑ x i 2

Vamos calcular todos esses valores com a ajuda da tabela.

∑ x i y i → É   o   s o m a t ó r i o   d e   t o d o s   o s   v a l o r e s   d e   x i y i

Precisamos multiplicar os valores de x e y em cada linha da tabela e depois somar tudo!

∑ x i y i = 2892,87

Beleza? Vamos para o próximo!

∑ x i . ∑ y i → É   o   v a l o r   d o   s o m a t ó r i o   d o s   x ' s   c o m   o s   y ' s

Já temos esses valores na tabela!

∑ x i = 166,7       e       ∑ y i = 71,4

Tudo bem até aqui?

∑ x i 2 → É   o   s o m a t ó r i o   d e   t o d o s   o s   v a l o r e s   d e   x   a o   q u a d r a d o

Também podemos montar uma coluna da nossa tabela calculando o valor de x ² e depois somar os valores que encontramos:

∑ x i 2 = 6485,50

Falta só o últimos termo:

∑ x i 2 → É   o   s o m a t ó r i o   d e   t o d o s   o s   x ' s   a o   q u a d r a d o

Reparem que é diferente do que calculamos anteriormente! Nesse caso vamos pegar o valor de ∑ x i e elevar ao quadrado. Já encontramos esse valor então:

∑ x i 2 = ( 166,7 ) ²

Pronto! Temos tudo que precisamos para encontrar o coeficiente α :

α = n   .   ∑ x i y i - ∑ x i . ∑ y i n . ∑ x i 2 - ∑ x i 2

α = 5 . 2892,87 - 166,7 . 71,4 5 . 6485,50 - 166,7 2 = 0,55

Passo 2)

Para o cálculo do β , precisamos das médias amostrais, que vão ser dadas por:

x _ = ∑ x i n = 166,7 5 = 33,34

y _ = ∑ y i n = 71,4 5 = 14,28

Então:

β = y _ - α x _

β = 14,28 - 0,55 ( 33,24 )

β = - 4,1

Passo 3)

Agora podemos juntar tudo na fórmula da reta:

Y = α X + β + e

Y = 0,55 X - 4,1

Essa aí é nossa melhor reta aproximada!

Encontrando a equação da reta

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