Regressão Linear
Produzido por Jorge Alberto NascimentoTeoria
Introdução à Regressão Linear
Fala Aíí!!! Digamos que a gente tem o seguinte cenário: Temos uma variável que representa o número de gols que um time marcou em uma partida e a variável o número de tentativas que foram feitas. Observe a tabela com os dados obtidos até o final do campeonato:
Podemos colocar os valores da tabela num gráfico que chamaremos de gráfico de dispersão. Teremos algo desse tipo:
Se alguém te pedisse para encontrar a equação que melhor representa essa situação, você saberia como fazer isso?
Olhando para o gráfico, os pontos dispersos estão quase formando uma linha reta certo? Não seria exagero pensar que a equação que melhor representa essa situação será o de uma reta:
O que a gente faz em regressão linear é exatamente encontrar uma reta dessas! Beleza?!
O que a gente tem que ter na cabeça antes de ir às contas é o seguinte:
- Cada ponto dessa figura é composto de duas variáveis, que são nossos dados.
- O que a gente tá fazendo ao encontrar essa reta é tentando relacionar uma variável à outra, através de uma equação. A fórmula é a seguinte:
- Onde:
Não precisa encrencar com esse erro não! É bom representar ele nas nossas respostas finais só pra ficar matematicamente correto, mas não precisamos calcular nada sobre ele.
Beleza, mas na prática como encontramos a equação dessas retas?
Encontrando a equação da reta
Exemplo
Em uma pesquisa deseja-se encontrar a taxa de mortalidade infantil com a taxa de analfabetismo do país. Qual a reta de regressão que descreve melhor a taxa de mortalidade infantil em função do analfabetismo?
Para resolver esse problema, faz sentido estabelecermos duas variáveis:
- Taxa de Analfabetismo
- Taxa de Mortalidade Infantil
Concorda?!
Tem-se os seguintes dados:
Beleza, mas antes de começar precisamos responder uma pergunta que nos ajudará a encontrar a reta: qual é nossa variável dependente e qual nossa variável independente?
Lembra que a fórmula da reta seria algo desse tipo:
Note que o valor de Y está dependendo do valor de X! Por isso chamamos Y de variável dependente e x de variável independente. Show de bola?!
No nosso caso queremos relacionar a taxa de mortalidade com a taxa de analfabetismo, ou seja, como a taxa de analfabetismo interfere na taxa de mortalidade.
Podemos dizer então que a taxa de mortalidade será nossa variável dependente (porque vai sofrer alterações com os números de analfabetos) e a taxa de analfabetismo será nossa variável independente.
Podemos montar outra tabela agora dessa forma:
Agora vamos encontrar os coeficientes da equação da reta seguindo o passo a passo!
Lembrando que a equação deve ter uma carinha como essa:
Passo 1)
Para montarmos a função temos que descobrir o valor dos parâmetros e .
Infelizmente teremos mais fórmulas:
Masôqueee? Relaxa! Vamos ver direitinho o que cada termo aí dentro significa.
O é o número de elementos da nossa amostra. Como nosso quadro nos dá informações sobre regiões do país, . Os e são os dados individuais de cada variável. E e são as médias amostrais desses dados.
Vamos começar com o :
Vamos calcular todos esses valores com a ajuda da tabela.
Precisamos multiplicar os valores de x e y em cada linha da tabela e depois somar tudo!
Beleza? Vamos para o próximo!
Já temos esses valores na tabela!
Tudo bem até aqui?
Também podemos montar uma coluna da nossa tabela calculando o valor de e depois somar os valores que encontramos:
Falta só o últimos termo:
Reparem que é diferente do que calculamos anteriormente! Nesse caso vamos pegar o valor de e elevar ao quadrado. Já encontramos esse valor então:
Pronto! Temos tudo que precisamos para encontrar o coeficiente :
Passo 2)
Para o cálculo do , precisamos das médias amostrais, que vão ser dadas por:
Então:
Passo 3)
Agora podemos juntar tudo na fórmula da reta:
Essa aí é nossa melhor reta aproximada!