Dimensionamento da Amostra para Proporção Amostral
Teoria
PARA ESTIMAR A PROPORÇÃO POPULACIONAL
Incialmente a gente tem que:
Do mesmo jeito que a gente pensou anteriormente para a média populacional, a gente chega na seguinte relação.
Os valores de e geralmente o exercício dá.
O problema então é que a gente tem e desconhecidos, duas icógnitas e uma equação.
Pra resolver isso vamos seguir um raciocínio aqui;
Lembra que eu disse que:
Vamos entender isso melhor rapidin.
- Lembra que é um valor entre 0 e 1, certo?
- Então chute qualquer valor pra e faça a conta, você vai ver o que eu disse, por exemplo.
- Se
- Se
- Se
Outra maneira de ver isso é derivando e igualando a zero:
Derivando com relação a p e igualando a zero, temos:
Derivando com relação a p de novo para vermos se é ponto de máximo:
Que é sempre negativo então é ponto de máximo.
Tá, agora que isso tá entendido. Se não entendeu, relaxa, aceite haha.
Olhando pra fórmula de a gente percebe que quanto maior o valor de , maior o valor de , maior o tamanho que a amostra tem que ter.
Então o maior tamanho da amostra acontece quando .
Pra resolver então o nosso problema de 2 icógnitas e 1 equação, nós vamos estimar o valor de , com o seguinte critério:
- Se a gente não souber nada sobre o valor de , vamos usar ;
- Se por algum motivo a gente souber o intervalo dos valores possíveis pra , a gente vai usar o valor do intervalo que estiver mais próximo de 0,5. Por exemplo, se o intervalo for 0,1 a 0,2, vamos usar . Ou se o intervalo for 0,72 a 0,75, vamos usar .
O motivo da gente usar esse critério é que assim a gente vai sempre dimensionar a amostra por cima, ou seja, por valores mais altos de , garantindo que o erro não ultrapasse .
Exemplo: Uma empresa fabrica diodos usados em placas de circuito impresso. Qual deve ser o tamanho amostral a fim de termos uma probabilidade de 0,9 de que o erro absoluto da estimativa da fração de diodos fora das especificações não ultrapasse 0,05.
- Se não tivermos qualquer informação sobre o verdadeiro valor de ?
- Se temos a informação de que o verdadeiro valor da fração fora das especificações é inferior a ?
Passo1) Calcular e .
Passo2) Temos , vamos calcular .
Para a alternativa (a), não sabemos nada sobre , então vamos usar .
Substituindo os valores, .
Passo3) Para a alternativa (b), sabemos que a fração não ultrapassa , o intervalo pra fração é , vamos usar então .
Substituindo de novo, .
Obs: note que se ao invés de eu falar que era inferior a 20%, eu falasse que era de pelo menos 80% por exemplo. A gente usaria Pegou a ideia?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 334.
Lasers semicondutores usados em produtos óticos de gravação prestam-se tanto para operações de leitura como para operações de escrita. Estas últimas requerem níveis mais altos de potência, o que tende a reduzir a vida útil do laser. Quando a finalidade principal é realizar cópias de discos magnéticos de alta velocidade, o laser, fundamentalmente, só escreve. Por outro lado, quando a finalidade principal é armazenagem, o laser gasta aproximadamente a mesma quantidade de tempo na leitura e na escrita. Preocupado com a questão da durabilidade da sua produção, um fabricante de lasers deseja realizar uma pesquisa por amostragem junto à sua clientela, para estimar a proporção dos seus produtos que são usados para realizar cópias.
- Se a intenção é estimar com um erro absoluto inferior a 0,05 e com probabilidade , qual deve ser o tamanho da amostra?
- Sob as mesmas condições do item (a), calcule o tamanho da amostra a ser utilizada, se o fabricante sabe que .
Passo 1
(a)
Vê se você concorda comigo, de acordo com o enunciado a intenção é que:
Com e .
E a gente precisa dimensionar .
Primeiro calculamos e .
Passo 2
Pra calcular a gente tem que usar a fórmula:
A gente já tem quase todos os valores, mas não temos o valor da proporção populacional . O que que a gente faz então?
Como a gente não sabe naaaaada sobre , a gente usa . Aceita isso que funciona hahaha..
Com isso a gente tem:
Mas é um número inteiro sempre.
Passo 3
(b)
O que muda agora? Agora a gente sabe alguma coisa sobre o valor de .
A gente sabe que .
Quando isso acontece, a gente usa o valor mais próximo de 0,5. Nesse caso então a gente vai usar a mesma fórmula do item (a), mas com .
Então:
Resposta
Exercício Resolvido #2
P2- 2014.1 – UFRJ Dimensionamento de amostras
Deseja-se estimar a proporção das empresas localizadas em uma região que possuem um setor de treinamento de pessoal. Determine o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples a ser extraída do conjunto dessas empresas para que o erro absoluto de estimação seja inferior a , com uma probabilidade de , nas seguintes situações:
- Nada se sabe sobre o valor de ;
- Sabemos que pelo menos 80% das empresas dessa região possuem um setor de treinamento.
Passo 1
Essa questão trata de dimensionamento de amostras.
Garantir o que o problema pede é garantir que:
Pra isso o nosso valor de deve ser:
Sabemos que:
Com isso:
Olhando na tabela da Normal, a gente vê que:
Passo 2
(a)
Beleza, o que falta pra gente pra descobrir o valor de , é saber o valor de .
Na letra (a) ele diz que não sabemos nada sobre , quando isso acontece a gente usa .
Ficaria assim:
Passo 3
(b)
Agora sabemos que vale pelo menos 80%, ou seja, , já que 1 é o valor máximo.
Nesses casos a gente usa o valor de mais próximo de 0,5. Vamos usar então o 0,8.
Os dois casos você teve que arredondar pra cima, não pode ser um número decimal.
Resposta
Exercício Resolvido #3
João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 364.
Uma operadora de TV a cabo realizou uma pesquisa de mercado junto aos seus assinantes visando, entre outras coisas, estimar a proporção dessas pessoas que estariam dispostas a contratar um upgrade no serviço que lhes é atualmente oferecido, em troca de um certo desconto no preço.
- Qual o tamanho de uma nova amostra suficiente para garantir que a proporção de assinantes dispostos a contratar o upgrade possa ser estimada com um erro absoluto menor que 0,08 com probabilidade 0,95? Admita que nada se sabe sobre o valor de .
- E se é sabido que está entre e ?
Passo 1
(a)
A operadora de TV quer estimar a proporção de pessoas dispostas a contratar o upgrade no serviço.
Temos que calcular então de acordo com o enunciado:
Com e .
Calculamos o valor de e .
Percebeu que esse valor de tem uma frequência alta nas contas, se você preferir pode decorar que vale 1,96. Mas você descobre usando a tabela da Normal.
Passo 2
Pra calcular a gente tem que usar a fórmula:
A gente já tem quase todos os valores, mas não temos o valor da proporção populacional . O que que a gente faz então?
Como a gente não sabe naaaaada sobre , novamente, a gente vai usar .
A gente fica com:
Mas é um número inteiro sempre.
Passo 3
(b)
O que muda agora? Agora a gente sabe alguma coisa sobre o valor de .
A gente sabe que .
Quando isso acontece, o que que a gente faz? Usa o valor mais próximo de 0,5, certo? Nesse caso então a gente vai usar a mesma fórmula do item (a), mas com .
Então:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Qual será o tamanho da amostra a ser adotada para se fazer uma pesquisa sobre preferência de marcas celulares em um universo de 2000 possíveis clientes? Nesta pesquisa será exigida uma margem de erro máxima de com de confiança.
Passo 1
Primeiro calculamos o nível de significância :
Por que a probabilidade complementar do nível de significância é o nívelde confiança.
Então temos que:
Passo 2
A margem de erro pedida é de .
Como não sabemos nada sobre , vamos considerar , que é o valor padrão nesses casos.
Aplicando tudo isso à fórmula do dimensionamento para proporção para descobrir o tamanho da amostra:
Arredondamos para mais para garantir que a margem de erro não ultrapasse a pedida!
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Em um consultório médico a proporção de homens que se consultam em um determinado dia é . Qual o tamanho ideal de uma amostra para essa situação com de nível de confiança e de margem de erro?
Passo 1
Se é o nível de confiança...
E então:
Passo 2
A margem de erro é segundo o enunciado.
Nosso usado será a proporção amostral dada no enunciado, que é .
Aplicando todos os valores à fórmula do dimensionamento para proporção para descobrir o tamanho necessário da amostra: