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Intervalo de Confiança para Média com σ Conhecido

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Teoria

Bora aprender de uma vez por todas o que é um intervalo de confiança?!

O que é Intervalo de Confiança?

O intervalo de confiança é um intervalo numérico de um parâmetro populacional associado a uma probabilidade.

Usamos a seguinte notação:

$$P(L_{inf}<θ

Podemos ler assim: A probabilidade de que o parâmetro esteja entre os limites inferior e superior é de ou .

O é o valor real do parâmetro. Aqui estamos falando da média populacional, então podemos trocar por !

Por exemplo, se temos um nível de confiança de para um parâmetro populacional qualquer, existe então, uma probabilidade de de estar dentro do intervalo de confiança calculado.

Probabilidade e Estatística em Pesquisas Eleitorais

Com certeza o momento que mais ouvimos falar sobre “intervalo de confiança” e “nível de confiança” é quando estamos próximos de uma eleição!

Então imagina que você viu na TV que existe de determinado candidato ganhar.

Mas, o quão confiável é essa informação?! Afinal pesquisas eleitorais são baseadas em uma amostra e não em toda a população brasileira.

Então, o que estamos querendo quando fazemos a pesquisa de intenção de voto é estimar um parâmetro populacional e além disso queremos saber o quão confiável é o seu resultado final!

Como Calcular o Intervalo de Confiança?

A primeira coisa que você vai observar na hora de calcular o intervalo de confiança é se o desvio padrão populacional é conhecido ou não!

Esses dois casos são calculados usando parâmetros diferentes:

  • para a média populacional, com o desvio padrão conhecido;
  • para a média populacional, com o desvio padrão desconhecido.

Intervalo de confiança com o Desvio padrão conhecido

Vamos partir da notação do que vimos ali em cima:

$$P(L_{inf}<θ

Os limites inferior e superior pode ser calculados, respectivamente, por:

Onde é o erro absoluto, dado por:

Assim temos o nosso intervalo de confiança:

Nesse vídeo abaixo, a gente te explica direitinho como calcular o intervalo de confiança na prática 👇👇👇

📢Clique para saber mais:

Intervalo de confiança com conhecido: Passo a Passo

Pra ficar bem claro como calcular o intervalo de confiança com o desvio padrão conhecido, vamos resolver um exercício juntos!

Deseja-se estimar a resistência média de um certo tipo de fibra usada na fabricação de um tecido. Uma amostra aleatória de espécimes da fibra tem uma média aritmética de . Se o desvio padrão da população é conhecido e igual a , determine um intervalo de confiança de para o verdadeiro valor da média populacional .

  • Passo 1: Calcular e .

  • Passo 2: Calcular

  • Passo 3: Calcular o intervalo de confiança

    Finalmente achamos nosso intervalo de confiança:

Podemos dizer então que, temos de certeza que a resistência média da fibra usada na fabricação do tecido esta entre e .

Intervalo de confiança com o Desvio padrão desconhecido

Agora, e se a gente não conhecer o desvio padrão?! Como fazemos?

Não é tão diferente de quando a gente conhece o , mas nesse caso usamos o teste . Confira o vídeo abaixo pra descobrir como calcular o intervalo de confiança com o desvio padrão conhecido! 👇👇👇

Agora, vamos praticar com exercícios?!

Como Calcular o Intervalo de Confiança?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 362.

Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é Normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades². Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes valores:

7,9       6,8       5,4       7,5       7,9       6,4       8,0       6,3       4,4         5,9

  1. Calcule a estimativa pontual da media populacional, com base nessa amostra.
  2. Determine o intervalo de confiança para a resistência média com um coeficiente de confiança de 90 % .

Passo 1

(a)

A estimativa pontual para a média populacional é qual? A média amostral, concorda?

Então, nossa estimativa pontual será:

x ¯ = 7,9 + 6,8 + … + 5,9 10 = 66,5 10 = 6,65

Passo 2

(b)

Temos que construir um I C com confiança de 90%.

Vamos calcular logo o valor de α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,9 → α = 0,1

z 1 - α 2 = z 0,95

Agora é só procurar na tabela normal, qual valor de Z que trará um valor de 0,95 de probabilidade, e esse valor é:

z 0,95 = 1,64

Passo 3

(b)

O exercício diz que a variância populacional é 4 unidades², isso quer dizer que o desvio padrão populacional σ = 2 . Concorda?

Conhecendo o valor de σ , o nosso I C será dado pela fórmula:

I C = ( x ¯ - d , x ¯ + d )

I C = x ¯ - z 1 - α 2 . σ n   ;   x ¯ + z 1 - α 2 . σ n

Vamos calcular então o valor de d :

d = z 1 - α 2 . σ n = 1,64 × 2 10 = 1,04

Nosso intervalo será:

I C = 6,65 - 1,04   ; 6,65 + 1,04

I C = ( 5,61   ; 7,69 )

Resposta

a   6,65

b   I C = ( 5,61   ; 7,69 )

Exercício Resolvido #2

PUC – 2014.1 – P4 -Intervalo de Confiança

  1. Uma máquina produz peças circulares cujos diâmetros D i devem obedecer uma determinada especificação em m m . Sabe-se que o desvio padrão nominal destas peças é conhecido e igual a 10   m m . Tomou-se uma amostra de 50 destas peças e observou-se que a média amostral dos diâmetros desta amostra D ¯ foi de 80   m m . Assumindo que os D i ' s são normalmente distribuídos. Qual é a o intervalo de confiança para o diâmetro médio das peças ao nível de confiança de 95 % .

Passo 1

O que a gente sabe sobre os diâmetros das peças? A gente conhece o desvio padrão nominal:

σ = 10   m m

E sabe que com uma amostra de 50   peças, a gente tem uma média de:

x ¯ = 80   m m

E a gente quer um intervalo de confiança pra essa média, com nível de 95 % .

Passo 2

Como a gente conhece o desvio padrão, nosso I C vai ter a seguinte cara:

I C = x ¯ - d , x ¯ + d

Com:

d = z 1 - α 2 × σ n

Vamos calcular cada pedaço. Primeiro:

1 - α = 95 % → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975

Olhando na tabela da normal, a gente tem:

z 0,975 = 1,96

Passo 3

Agora a gente já tem todos os dados pra calcular o I C .

d = 1,96 × 10 50

d ≅ 2,77

E nosso I C finalmente, fica:

I C = 80 - 2,77   ; 80 + 2,77

I C = 77,23   ; 82,77

Resposta

a   I C = 77,23   ; 82,77

Exercício Resolvido #3

Lista Regina – CEFET Intervalo de Confiança

O rendimento de um processo químico está sendo estudado. De experiências prévias com esse processo, sabe-se que o desvio-padrão do rendimento é igual a 3%. Os últimos cinco dias de operação do processo resultou nos seguintes rendimentos: 91,6%, 88,75%, 90,8%, 89,95% e 91,3%. Encontre um intervalo de confiança de 90% para o rendimento médio verdadeiro.

Passo 1

Tá, vamos começar analisando os dados que o problema nos deu.

A primeira coisa que a gente tem de informação, é o desvio padrão:

σ = 3 %

Depois disso o problema nos dá uma amostra de cinco dias e pede um intervalo de confiança para a média.

Já que a gente sabe o valor de σ , estaremos tratando de um I C para média, com desvio padrão conhecido, que como a gente viu, tem o seguinte formato:

I C = ( L i n f , L s u p )

L i n f = x ¯ - z 1 - α 2 . σ n

L s u p = x ¯ + z 1 - α 2 . σ n

Passo 2

Vamos calcular a média amostral primeiramente:

x ¯ = 91,6 % + 88,75 % + … + 91,3 % 5 = 90,48

Passo 3

Vamos calcular α e z 1 - α 2 .

Como o intervalo é de 90%...

1 - α = 0,9

α = 0,1

e...

z 1 - α 2 = z 0,95

Olhando na tabela da normal, você observa que:

z 0,95 = 1,65

Passo 4

Agora calculamos os limites do intervalo:

L i n f = 90,48 - 1,65 × 3 5

L i n f ≅ 88,26

e...

L s u p = 90,48 + 1,65 × 3 5

L s u p ≅ 92,69

Concluindo, nosso intervalo de confiança para média verdadeira será:

I C = ( 88,26 ; 92,69 )

Podemos escrever também que:

P 88,26 ≤ μ ≤ 92,69 = 0,90

Resposta

I C = ( 88,26 ; 92,69 )

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria.

Uma máquina de bebidas está regulada de modo a servir uma quantidade de líquido normalmente distribuído com desvio padrão 20   ml . Sabendo que numa amostra aleatória de 36 bebidas se obteve uma média de 250   ml .

  1. Construa um intervalo de confiança a 95 % para a verdadeira média.
  2. Qual deveria ser o tamanho de amostra para obter uma amplitude aproximadamente 11,5?

Passo 1

(a)

Vamos ver os dados do exercício.

A gente tem uma amostra com n = 36 e com média amostral x ¯ = 250 .

A gente sabe também o desvio padrão populacional σ = 20 .

O nosso intervalo de confiança tem que ser de 95% de confiança para a média populacional, com isso a gente pode calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Passo 2

Como a gente conhece o valor de σ , nosso intervalo será:

I C = ( x ¯ - d , x ¯ + d )

I C = x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n   ;   x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n

Agora é fazer contas.

x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n = 250 - 1,96 × 20 36 = 243,47

x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n = 250 + 1,96 × 20 36 = 256,53

Então nosso intervalo é:

I C = ( 243 , 4 7   ; 256,53 )

Passo 3

(b)

Pensa comigo, o nosso intervalo de acordo com a fórmula é:

I C = x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n   ;   x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n

O que seria a amplitude? Amplitude seria o ponto final menos o ponto inicial do intervalo, concorda?

Se você fizer essa conta com o nosso intervalo, vai descobrir que.

Amplitude = 2 × z 1 - α 2 ⋅ σ n

Passo 4

Se o exercício diz que a amplitude é 11,5. Pra descobrir o valor de n é só substituir.

11,5 = 2 × z 1 - α 2 ⋅ σ n

11,5 = 2 × 1,96 × 20 n

n = 2 × 1,96 × 20 11,5 2

n = 46,47

Como n tem que ser inteiro:

n = 47

Resposta

a   I C = ( 243,4 7   ; 256,53 )

b   47

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

A duração da vida de uma peça de equipamento é tal que o desvio padrão populacional é igual a 5 horas. Foram amostradas aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo-se média de 500 horas. Construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça com um nível de confiança de 95 % .

Passo 1

Primeiro calculamos o nível de significância α , que é complementar do nível de confiança, então:

1 - α = 0,95

α = 0,05

Então:

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Pelo enunciado temos que:

σ = 5

n = 100

x - = 500

Passo 2

Substituindo todos os valores na fórmula do I C :

I C = x - ∓ z 1 - α 2   σ n

= 500 ∓ 1,96   5 100 = 500 ∓ 0,98

I C = 499,02 ; 500,98

Resposta

I C = 499,02 ; 500,98

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