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Intervalo de Confiança para Proporção Populacional Não Conservativo.

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Teoria

Vamos usar o mesmo raciocínio usado pra I C pra média populacional. Inicialmente, temos lá do dimensionamento da amostra que:

P p ^ - p ≤ d = 1 - α

Que é o mesmo que:

P p ^ - d ≤ p ≤ p ^ + d = 1 - α

Pra saber o valor de d , vamos usar a fórmula pro dimensionamento da amostra.

n = z 1 - α 2 d 2 . p . 1 - p

Já sabendo o valor de n , podemos descobrir o valor de d .

d = z 1 - α 2 . p 1 - p n

Com isso ficamos com:

P p ^ - z 1 - α 2 . p 1 - p n ≤ p ≤ p ^ + z 1 - α 2 . p 1 - p n = 1 - α

Temos agora o mesmo problema de outras vezes, nós não conhecemos o valor de p . Para um intervalo não conservativo iremos:

  1. Simplesmente substituir p por sua estimativa p ^ .

P p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n ≤ p ≤ p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n = 1 - α

Isso nos leva ao intervalo de confiança não conservativo para p :

I C = p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

Claro que a opção conservativa sempre vai produzir intervalos maiores.

Exemplo: Um fabricante de pentes de memória RAM para computadores, que produz em grandes quantidades, deseja estimar a fração p de unidades defeituosas elaboradas por sua indústria. Para isso ele selecionou uma amostra aleatória de 200 unidades e verificou que, entre elas, 5 eram defeituosas. Construa um intervalo de confiança de 95 % para p .

Passo1) Calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975

Olhando na tabela da Normal → z 0,975 = 1,96 .

Passo2) Vamos usar o intervalo não conservativo.

Cálculo da proporção amostral:

p ^ = 5 200 = 0,025

Passo3) Calcular d , sabendo que no intervalo não conservativo substituímos a proporção populacional pela proporção amostral na fórmula de d .

d = z 1 - α 2 . p 1 - p n

d = 1,96 × 0,025 × 0,975 200

d = 0,022

Passo4) Determinar o intervalo não conservativo.

I C = 0,025 - 0,022   ; 0,025 + 0,022

I C = ( 0,003   ; 0,047 )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

P2- 2012.1 – UFRJ - Intervalo de Confiança

Um grande banco deseja inferir sobre a proporção de clientes que estão satisfeitos com seu serviço. Para isto, entrevistou 25 clientes e obteve os resultados mostrados na seguinte lista:

SSISSISSSSSIISSSSSSISSSSS

em que S representa “cliente satisfeito” e I representa “cliente insatisfeito”.

  1. Construa um intervalo de confiança não conservativo ao nível de 96% para a proporção de clientes satisfeitos. O intervalo obtido contém a proporção de clientes satisfeitos?
  2. Qual deve ser o tamanho da amostra para que a amplitude do intervalo de confiança conservativo, ao nível de confiança de 98%, seja menor ou igual a 0,04?

Passo 1

(a)

Partiu construir um intervalo não-conservativo pra proporção. A gente sabe que a fórmula é a seguinte...

I C = p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

Pra isso então a gente precisa calcular algumas paradas.

Podemos calcular primeiro a proporção amostral dos clientes satisfeitos.

p ^ = 20 25 = 0,8

Passo 2

Ele diz que a confiança é de 96%, a gente sabe que isso quer dizer que:

1 - α = 0,96 → α - 0,04

z 0,98 = 2,05

Fiz isso procurando na tabela da Normal, dá uma olhada aí.

Passo 3

Agora é só jogar no intervalo e calcular...

I C = 0,8 - 2,05 × 0,8 × 0,2 25   ;   0,8 + 2,05 × 0,8 × 0,2 25

I C = ( 0,636   ; 0,964 )

O intervalo contem a proporção de 0,8 de clientes satisfeitos.

Passo 4

(b)

Primeiro vamos entender o que seria amplitude.

Amplitude seria a diferença entre os extremos do intervalo, correto?

Repara que se você fizer essa conta se vai descobrir que a amplitude é igual a duas vezes o valor de d .

Para um intervalo conservativo a gente sabe que é:

I C = p ^ - z 1 - α 2 . 1 4 n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . 1 4 n

Ou seja,

d = z 1 - α 2 . 1 4 n

Passo 5

A gente tem que calcular n , sabendo que 2 d < 0,04 .

Primeiro vamos ver esse z aí.

1 - α = 0,98 → α = 0,02

z 0,99 = 2,33

Substituindo em 2 d < 0,04 .

2 × 2,33 × 1 2 n < 0,04

2,33 n < 0,04

n > 2,33 0,04 2

n = 3394

Resposta

a   I C = ( 0,636   ; 0,964 )

b   n = 3394

Exercício Resolvido #2

P2- 2012.2 – UFRJ Intervalo de Confiança

Um estudo com 420.095 dinamarqueses usuários de telefones celulares descobriu que 135 deles tinham desenvolvido câncer no cérebro. Uma pesquisa anterior a essa, diz que a taxa de incidência de tipo de câncer era de 0,034% para pessoas que não usavam telefones celulares.

  1. Construa um intervalo de 95% de confiança, não-conservativo, para a proporção de usuários de telefone celular que desenvolvem câncer no cérebro.

Passo 1

(a)

Nesse item a gente tem que montar um intervalo não-conservativo que tem essa cara aqui:

I C = p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

A gente pode calcular p ^ .

p ^ = 135 420095 = 0,000321

Passo 2

Pra gente montar o intervalo falta levar em consideração o 95%.

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 0,975 = 1,96

Agora a gente pode substituir no intervalo ali..

I C = 0,000321 - 1,96 × 0,000321 × 1 - 0,000321 420095   ;   0,000321 + 1,96 × 0,000321 × 1 - 0,000321 420095

I C = ( 0,000267   ;     0,000375 )

Resposta

a   I C = ( 0,000267   ;     0,000375 )