Intervalo de Confiança para Diferença entre Proporções
Teoria
Se a gente viu como constrói IC para diferença entre duas médias, é óbvio que não vamos querer deixar nossa querida proporção de fora!
Vamos aprender a fazer essa budega por esse exemplo:
“Uma amostra de 760 estudantes de uma faculdade A alegou que 70% deles deixa para estudar a matéria na véspera da prova. Uma outra amostra de 800 estudantes de uma faculdade B alegou que só 65% deles estudo tudo na véspera. Construa um intervalo de confiança de 90% para a diferença entre as proporções populacionais de estudantes das faculdades que estudam só na véspera.”
Reparou as diferenças? Agora vamos querer construir um IC para duas propoções populacionais e , e vamos conhecer as proporções amostrais e retiradas de amostras vindas dessas populações. Vamos nomear os nossos bois.
Temos a proporção amostral da faculdade A:
E a proporção amostral da faculdade B:
Também temos o tamanho das nossas amostras. Vamos chamar de a amostra da população 1 (faculdade A) e a amostra da população 2 (faculdade B):
Nosso IC para a um nível de confiança de vai ser dado por:
Mesmo padrão de sempre, percebeu? Os nós já conhecemos! E o nosso agora é dado por:
Vamos resolver nosso exemplo então!
Passo 1) Calcular e
O nível de confiança pedido é de 90%, então...
Daí temos que nosso vai ser:
Procurando esse cara na tabela temos que:
Passo 2) Calcular
Substituindo os valores conhecidos para acharmos :
Passo 3) Construir o IC
Agora podemos substituir geral na fórmula:
Ou seja, acabamos de garantir com 90% de confiança que a diferença entre as proporções é de no mínimo até o máximo de !
Foi? Partiu fazer exercício então!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Um biólogo está interessado em saber a diferença entre as proporções populacionais e de duas espécies de peixes que habitam em um lago. Para isso, ele recolheu uma amostra de peixes e observou que deles era da espécie 1, e era da espécie 2. Construa um IC para a diferença a um nível de confiança de .
Que conclusão pode ser tomada quanto aos valores desse IC? É possível afirmar qual das duas proporções populacionais é maior?
Passo 1
São dadas no enunciado duas proporções amostrais:
E essas duas proporções forem obtidas a partir de uma amostra de peixes, então:
Passo 2
Sabemos que o IC para diferença de proporções é dado por:
Como o nível de confiança pedido é de :
Então:
Passo 3
Substituindo todos os valores na fórmula:
Opa, então mostramos que a esse nível de confiança, existem chances do nosso IC ser negativo, ou seja, chances de , que é a mesma coisa que dizer que a proporção de peixes da espécie 2 é maior que a de espécie 1. Mas como também temos resultados positivos no intervalo, existem chances de , o que significaria que a proporção de peixes da espécie 1 é a maior. Ou seja, não podemos afirmar qual proporção populacional é a maior pois existem valores positivos e negativos no nosso IC!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Em virtude dos protestos quanto à degradação do meio ambiente, algumas empresas tem adotado materias totalmente recicláveis em seus produtos. Numa pesquisa, foi perguntado a consumidoras e consumidores, aleatoriamente selecionados, se eles comprariam um produto que não tivesse a etiqueta informativa de que os materias utilizados na embalagem são totalmente recicláveis. Dos entrevistados, consumidoras e consumidores responderam que não comprariam o produto. Monte um intervalo de de confiança para a diferença de proporções populacional de consumidores e consumidoras que não comprariam o produto.
Passo 1
Como vimos, IC para diferença entre proporções é dado por:
Onde:
Passo 2
Podemos começar calculando . Como o nível de confiança pedido é :
Então:
Procurando o valor desse cara na tabela da Normal:
Passo 3
Agora podemos calcular as proporções amostrais de consumidores(as) que não comprariam o produto. Primeiro as consumidoras:
E agora os consumidores:
Passo 4
Agora podemos substituir tudo na fórmula do e calculá-lo:
Passo 5
E por fim podemos substituir tudo na fórmula do IC:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Prof. Adriano Mendonça Sousa – Departamento de Estatística UFSM
Um levantamento estatístico mostrou que pessoas, das consultadas, numa cidade, vão votar no candidato A na próxima eleição; uma outra amostra de pessoas, dessa mesma cidade, mostrou que delas vão votar no candidato B. Construir um IC de 93% para a diferença das proporções de pessoas que vão votar em A e B.
Passo 1
Como vimos, IC para diferença entre proporções é dado por:
Onde:
Passo 2
Podemos começar calculando . Como o nível de confiança pedido é :
Então:
Procurando o valor desse cara na tabela da Normal:
Passo 3
Agora podemos calcular as proporções amostrais dos votos. Primeiro para o candidato A:
E agora para o candidato B:
Passo 4
Agora podemos substituir tudo na fórmula do e calculá-lo:
Passo 5
E por fim podemos substituir tudo na fórmula do IC: