Teoria

Fala Aííí! Imagina comigo o seguinte cenário: Digamos que o reitor deseja estimar qual a proporção de estudantes da sua universidade que pratica esportes. Para isso, entrevistou uma amostra de 200 estudantes e verificou que 50 deles praticavam esportes. Se ele quiser construir um intervalo de confiança de 95 % para a proporção de esportistas da universidade, como ele pode fazer isso?

Vamos lá!! Para calcular o intervalo de confiança utilizamos a fórmula abaixo:

I C = p ^ - d ; p ^ + d

Tá... mas quem é p ^ e quem é d ?

Temos que p ^ é a nossa proporção amostral e podemos encontrar o seu valor da seguinte forma:

p ^ = 50   a l u n o s   q u e   p r a t i c a m   e s p o r t e s 200   a l u n o s   d a   a m o s t r a = 50   200   = 0,25

E d a nossa margem de erro que é dada por essa fórmulinha aqui:

d = z 1 - α 2 . p 1 - p n

Onde n   é o tamanho da amostra e p a média populacional. Beleza?!

Até agora está muito parecido com o que vimos nos tópicos anteriores, concorda?

Então vamos lá, nosso primeiro passo será encontrar o α . Dessa forma, teremos o nosso z 1 - α 2   para procurar na tabela da distribuição Normal, beleza?! Então como encontramos α ?

Utilizaremos o raciocínio

1 - α = n í v e l   d e   c o n f i a n ç a

Da mesma forma como fizemos nos tópicos anteriores.

Ou seja, no nosso problema, temos

1 - α = 0,95 → α = 0,05

Show de bola?!

Agora que temos o nosso α , conseguimos encontrar o nosso   z 1 - α 2 na tabela:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,05 2 = z 0,975 → T a b e l a   N o r m a l → 1,96  

(Lembrando que para encontrar esse valor, nós procuramos na tabela normal qual o valor de Z que daria uma probabilidade de 0,975 e esse valor é Z = 1,96 .)

Opaaaa, então já temos uma parte do nosso d :

d = 1,96 . p 1 - p n

Se você reparar nós temos o valor de n = 200 então só falta o valor de p !

MAS PERAEEEE, O ENUNCIADO NÃO NOS DÁ O VALOR DE p... E AGORA?

Sempre que isso acontecer vamos ter duas opções:

  • Se no enunciado pedir um intervalo de confiança conservativo, podemos utilizar o valor máximo que p ( 1 - p ) pode assumir!
  • Mas beleza, que valor máximo é esse? Se você ainda não viu isso, o valor máximo que p ( 1 - p ) pode assumir é de 1 / 4 ou 0,25 , mas da onde vem isso? Se liga!

    Se você reparar bem, o valor de p está sempre entre 0 e 1 e quando multiplicamos ele pelo seu complementar ( 1 - p ) , nunca temos um valor acima de 0,25 .

    Dessa forma, usando o valor máximo possível para p ( 1 - p ) , o numerador da raíz viraria 1 / 4 : d = 1,96 1 / 4   n = 1,96 1 / 4   200 = 0,07

    E com isso conseguimos calcular o nosso intervalo de confiança conservativo:

    I C = p ^ - d ; p ^ + d

    I C = 0,25 - 0,07 ; 0,25 + 0,07

    I C = ( 0,18 ; 0,32 )

    Beleza?!

  • Outra forma de fazer é utilizando a proporção amostral p ^ no lugar da proporção populacional p .

Quando fizermos isso, chamaremos o nosso intervalo de confiança de não-conservativo.

Nesse método o nosso d ficará da seguinte forma:

d = 1,96 . p ^ 1 - p ^ n

d = 1,96 . 0,25 1 - 0,25 200 = 0,06

E dessa forma conseguimos calcular o nosso intervalo de confiança não-conservativo:

I C = p ^ - d ; p ^ + d

I C = 0,25 - 0,06 ; 0,25 + 0,06

I C = 0,25 - 0,06 ; 0,25 + 0,06

I C = 0,22 ; 0,28

Show de bola?!

Dessa forma conseguimos calcular nossos intervalos de confiança que é o intervalo dentro do qual o nosso real valor do parâmetro está!

Nos vemos então nos exercícios!!

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