Teste de Hipótese para Média Amostral com σ Desconhecido
Teoria
Acabamos de ver o caso do Teste de Hipóteses para a Média Amostral com conhecido. Mas e quando não for?
O bizu nesse caso é mudar a distribuição a ser utilizada na estatística. Epa!!! Como assim? Ué, lembram que considerávamos a distribuição Normal? Utilizavamos o TCL, padronizávamos? Agora iremos utilizar outra distribuição, a T-Student.
A ideia é a mesma, vamos olhar um exemplo ok?
Um fabricante afirma que seus suplementos não contêm mais do que 30mg de sódio. Uma amostra de 25 potes de suplemento fornece em média 31,4mg de sódio e desvio padrão de 3mg. Sendo o nível de significância é de 5%, os dados refutam ou não a afirmação do fabricante?
1º) Escrever as hipóteses
2º) Supondo que X, a quantidade de sódio por pote de suplemento, tenha distribuição , a estatística
E essa é uma distribuição T-Student, em que o parâmetro é dado pelo grau de liberdade que é representado por
Onde é a quantidade de termos da amostra.
Nesse caso .
Representamos essa distribuição com .
3º) Por ser um teste unilateral, devemos procurar o valor de , que é o ponto crítico.
Lembram que utilizamos a probabilidade do erro aqui?
Para descobrir devemos olhar a tabela de distribuição de T-Student:
Portanto
A região crítica portanto é:
4º) Cálculo do valor observado na estatística:
Lembrando que
Substituindo
5º) Análise de
Precisamos analisar se pertence ou não a RC para saber se iremos rejeitar ou não. A regra é:
- Se pertencer a RC então rejeitamos
- Caso contrário aceitamos
Neste caso temos que pertence à região crítica portanto iremos rejeitar , ou seja, há evidencias de que os potes de suplemento contenham mais de 30mg de sódio.
Vamos olhar os exercícios...
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 388.
Sergio afirma que Raquel dirige seu carro na estrada a uma velocidade média superior a , enquanto Raquel discorda, afirmando dirigir na estrada a uma velocidade média menor ou igual a . Para dirimir essa controvérsia, Sergio resolve cronometrar o tempo (em minutos) que ela gasta ao volante em 10 viagens, sempre pelo mesmo percurso que liga duas cidades 120 distantes:
- Quem parece ter razão, ao nível de significância 5%?
Passo 1
(a)
Primeiro vamos definir as hipóteses:
Temos que .
Na nossa amostra temos . Não conhecemos o valor do desvio padrão populacional, isso é um sinal de que teremos que calcular o amostra e usar .
Passo 2
A nossa estatística de teste será:
E o critério para a região de rejeição será:
Usando a tabela de e levando em consideração que temos graus de liberdade.
Passo 3
Só que para calcular e precisamos antes passar tudo para velocidade, que é sobre o que a questão trata. Foram dados os tempos e a distância, então vamos usar a seguinte fórmula:
Os resultados obtidos em são:
Passo 4
Com base nesses dados a gente pode calcular agora e , usando as fórmulas lá do início da matéria. Vou colocar os resultados direto:
Com isso, temos:
Observando o critério da região de rejeição, como então isso implica que deve ser rejeitada. Ou seja, Sergio parece ter razão.
Resposta
Exercício Resolvido #2
P2- 2013.2 – UFRJ Teste de Hipóteses
Suponha que os tempos de vida, em horas, de certos semicondutores a laser sejam Normalmente distribuidos com média e variância .
Para testar versus , uma amostra aleatória de tamanho 25 foi
observada e apresentou os seguintes resultados:
.
- Qual a sua conclusão, ao nível de significância de 1%?
Passo 1
(a)
Nessa opção a gente vai ter que fazer o teste de hipótese pra esse caso aí com .
Repara que nesse caso a gente não conhece o valor de então teremos algumas diferenças na conta.
Inicialmente, a gente tem:
A nossa estatística de teste vai ser diferente né, porque não temos :
E vamos usar a distribuição com 24 graus de liberdade, já que .
Passo 2
Esse é o caso unilateral! Nesse caso, a região de rejeição vai ser definida por:
Sabendo que são 24 graus de liberdade, usando a tabela de :
Passo 3
Só que pra calcular o nosso a gente tem que calcular e , usando os dados do exercício e as fórmulas que a gente já conhece.
Como tempo é uma coisa escassa, vou colocar os resultados aqui direto:
Agora podemos calcular o :
Como , então estamos dentro da região de aceitação de .
Resposta
Exercício Resolvido #3
P2- 2012.1 – UFRJ Teste de Hipóteses
Um fabricante de cabos afirma que: “o diâmetro médio dos cabos produzidos pela sua empresa é de pelo menos ”. Para testar se esta afirmação é verdadeira, uma amostra de 25 cabos foi observada e mostrou um diâmetro médio de com um desvio padrão de . Suponha que os diâmetros desses cabos sigam uma distribuição Normal.
- Explicite as hipóteses a serem testadas e apresente a sua conclusão a um nível de significância de 5%. Justifique a sua resposta.
- Com base nos recursos de que você dispõe, determine o intervalo de menor amplitude no qual o -valor se encontra.
Passo 1
(a)
Vamos fazer um teste de hipóteses para a média populacional.
Mas nesse caso a gente não conhece o valor de , conhecemos somente e . Se liga que a gente vai ter usar aqui.
A estatística de teste será:
Passo 2
A região crítica nesse caso é dada por:
O exercício diz que:
Lembrando que são 24 graus de liberdade porque .
Então:
Passo 3
Agora a gente substitui os valores na estatística de teste pra ver no que que dá.
Como esse valor é maior que , então está dentro da região de aceitação. Devemos aceitar, ou pelo menos não descartar, a hipótese .
Passo 4
(b)
Calcular o p-valor.
Se você olhar na tabela na linha dos 24 graus de liberdade, você vai encontrar que:
E,
E o valor que a gente quer tá entre:
Isso leva a gente a:
Então...
Resposta
Exercício Resolvido #4
PUC – 2013.2 – P4 -Teste de Hipóteses
Uma amostra de medidores de participação de manganês numa liga de ferro-manganês apresentou uma média de e desvio padrão de . Assumindo que a participação nominal da média na liga é de .
Pede-se:
- Teste a hipótese ao nível de significância de que a participação de manganês da amostra estudada é superior a . Mostre o resultado através de cálculo e esboce um gráfico da distribuição do teste, indicando a área de rejeição e aceitação com os resultados encontrados.
Passo 1
(a)
A gente tem uma amostra com elementos com:
E vamos fazer um teste de hipótese para a média de participação do manganês na liga.
Primeiro a gente tem que determinar as hipóteses, que pelo enunciado são:
Passo 2
Vamos calcular a nossa estatística de teste...
Como a gente não conhece o desvio padrão populacional , vamos usar o que a gente tem... que é o amostral e usar ...
Passo 3
A região de rejeição pra esse tipo de teste, que se encaixa no caso 2, é:
O foi dado no exercício...
Como temos , então vamos ter graus de liberdade... aí é só olhar na tabela:
A região de rejeição é então:
Passo 4
Como a nossa estatística de teste deu:
E:
Não caímos na região critica, então, aceitamos (dentro desse nível de significância pedido né).
Olha o gráfico aí que representa essa situação...
