Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 35

7-35. A distribuição de Rayleigh tem função densidade de probabilidade

a) Pode ser mostrado que. Use essa informação para construir um estimador näo-tendencioso para 0.

b) Encontre o estimador de máxima verossimilhanca para 0. Compare sua resposta com o item (a).

c)Use a propriedade de invariância do estimador de máxima verossimilhanca para encontrar o estimador de máxima verossimilhança da mediana da distribuição de Rayleigh.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Temos a seguinte Informação dada:

A função de densidade de probabilidade da distribuição de Rayleigh é:

f ( x ) = x θ e - x 2 / 2 θ ,         x > 0,0 < θ < ∞ 0         ,   c a s o   c o n t r a r i o  

Letra a:

Vamos determinar um estimador imparcial para   θ ,  se  E X 2 = 2 θ .

E X 2 = 2 θ θ = 1 2 E X 2 θ = 1 2 V ( X ) + ( E ( X ) ) 2 = 1 2 ∑ X i 2 n - ∑ X i 2 n 2 + E ( X ) 2 = 1 2 ∑ X i 2 n - ∑ X i n 2 + ( E ( X ) ) 2 = 1 2 ∑ X i 2 n - X - 2 + μ 2 = ∑ x i 2 2 n

Vamos considerar

E ( θ ^ ) = E ∑ X i 2 2 n = 1 2 n ∑ E X i 2 = 1 2 n ∑ ( 2 θ ) = 1 2 n ( 2 n θ ) = θ

Portanto   θ ^ = ∑ X i 2 2 n é um estimador imparcial de θ

Passo 2

Letra b:

Vamos encontrar o estimador de máxima verossimilhança de θ .

L ( θ ) = f X 1 ; θ ⋅ f X 2 ; θ ⋯ f X n ; θ = X 1 , X 2 , … , X n θ n e - 1 2 θ Σ X i 2

Vamos aplicar logaritmo em ambos os lados

l n ⁡ L ( θ ) = l n ⁡ X 1 , X 2 , … , X n - n ⋅ l n ⁡ ( θ ) - 1 2 θ ∑ X i 2

E vamos diferenciar com respeito a θ e igualar a zero.

dln ⁡ L θ d θ = - n θ + 1 2 θ 2 ∑ X i 2 = 0 n θ = ∑ X i 2 2 θ 2 θ = ∑ X i 2 2 n

Passo 3

Letra c:

Vamos encontrar o estimador de máxima verossimilhança da mediana da distribuição de Raleigh, usando a propriedade de invariância do estimador de máxima verossimilhança.

A mediana m é dada por

∫ 0 m   x θ c - x 2 / 2 θ d x = 1 2

Para resolver a integral, vamos substituir

x 2 2 θ = t ⇒ x θ d x = d t

A integral se torna

∫ 0 m   e - t d t = 1 2 e - x 2 2 θ 0 m = 1 2 c - m 2 2 b - 1 = 1 2

Faça log:

l n ⁡ ( 0.5 ) = - m 2 2 θ - m 2 = 2 θ ⋅ l n ⁡ ( 0.5 ) - m 2 = - 1.38629 θ m = 1.3863 θ m = 1.177 θ

Se θ ^ é o estimador de máxima verossimilhança de θ , então   g θ ^  é o  E M V  de  g ( θ ) é o estimador de máxima verossimilhança para qualquer função g. Portanto, o estimador de máxima verossimilhança da mediana é 1.17 ∑ x i 2 2 n

Resposta

  1. θ ^ = ∑ X i 2 2 n     é um estimador imparcial de θ
  2. θ = ∑ X i 2 2 n
  3. 1.17 ∑ X 1 2 2 n
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Reconsidere os dados da espessura do oxido no Exercicio 7-23c suponha que seja razoavel supor que a espessura do oxido seja normalmente distribuida.Calcule as estimativas de maxima verossimilhanca de
Explique como encontramos o desvio de um valor em um conjunto de dados. Qual é a soma detodos os desvios em qualquer conjunto?
Discuta as diferenças e semelhanças entre a Regra Empírica e o teorema de Chebyshev.
Explique como encontramos a amplitude de um conjunto de dados. Qual é a vantagem de usarmos a amplitude como uma medida de variação? Qual é a desvantagem?
Explique a relação entre a variância e o desvio padrão. Uma dessas duas medidas pode ser negativa? Explique.