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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 75

Acessos a páginas da internet, com alta consulta, seguem supostamente uma distribuição de Poisson, com uma média de 10000 por dia. Aproxime cada opção seguinte:

  1. A probabilidade de mais de 20000 golpes em um dia
  2. A probabilidade de menos de 9900 golpes em um dia
  3. O valor tal que a probabilidade de o número de golpes em um dia exceder esse valor seja igual a 0.01.
  4. Aproxime o número esperado de dias em um ano (365 dias) que excede 10200 golpes.
  5. Aproxime a probabilidade de que ao longo de um ano (365 dias) mais de 15 dias tenham mais de 10200 golpes por dia.

Passo 1

Seja Y a variável aleatória de Poisson com o parâmetro λ = 10000 golpes por dia . Então, a variável aleatória W é definido como:

W = X - λ λ = X - 10000 100

É aproximadamente uma variável aleatória padrão normal com a distribuição cumulativa Φ listada nas tabelas no final do livro.

Vamos calcular usando as correções de continuidade e as tabelas

Passo 2

Letra a:

P ( Y > 20000 ) ≈ P ( W ≥ 100 ) = 1 - ɸ ( 100 )   ≈   0

Passo 3

Letra b:

P ( Y < 9900 ) = P ( Y ≤ 9899.5 ) ≈ P ( Z ≤ - 1.005 ) ≈ 0.157

Passo 4

Letra c:

As equações são:

0.01 = P ( Y ≥ y + 0.5 ) ≈ P ( W ≥ y + 0.5 - 10000 100 ) = 1 - ɸ ( y - 9999.5 100 )

Simplificando:

0.99 = ɸ ( y - 9999.5 100 )

Usando as tabelas III:

2.33 = y - 9999.5 100

E resolvendo para y :

y = 10232.5 ≈ 10233

Passo 5

Letra d:

Seja X a variável aleatória binomial com os parâmetros:

n = 365

p = P ( Y > 10200 )

X representa o número de dias de um total de 365 dias com mais de 10020 acessos. Aproxime o parâmetro p :

p = P ( Y > 10200 ) ≈ P ( Z > 2 ) = 1 - ɸ ( 2 ) = 0.02275

Vamos calcular a média da variável aleatória X :

E ( X ) = n p ≈ 8.3   d i a s

Passo 6

Letra e:

A variável aleatória Z é definido como:

Z = X - n p n p ( 1 - p ) = X - 8.3 2.85

É aproximadamente uma variável aleatória padrão normal com a distribuição cumulativa Φ listada nas tabelas no final do livro.

Vamos calcular usando as correções de continuidade e as tabelas

P ( X > 15 ) = P ( X ≥ 15.5 ) ≈ P ( Z ≥ 2.53 ) = 1 - ɸ ( 2.53 ) ≈ 0.0057

Resposta

  1. 0
  2. 0.157
  3. 10233
  4. 8.3
  5. 0.0057
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