Exercícios de Aproximando a Binominal pela Normal - Lista de Exercícios Resolvida

Ocorem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja o número de amostras para as quais não houve desintegrações antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de , a esperança de e a variância de . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal, .

O Comitê organizador de um congresso científico contratou 5 hotéis da cidade onde vai se realizar esse evento para hospedarem os congressistas inscritos. Cada um desses hotéis só têm quartos individuais e só poderá hospedar os participantes do congresso durante esse período. Admita que cada congressista escolherá de forma aleatória para qual dos hotéis ele vai se dirigir. O Hotel é um desses 5 hotéis e tem capacidade para acomodar pessoas. (a) Qual a probabilidade de que o Hotel consiga acomodar todos os congressistas que o procurarem?

O tempo de travessia de uma balsa é uma variável aleatória que assume os valores , e minutos com probabilidades iguais. Carlos pega esta balsa diariamente para ir ao trabalho. Entretanto, ele não consegue pegar a conexão com o ônibus da firma se o tempo gasto com a travessia for . Não pegando o ônibus ele consegue um taxi com probabilidade , e, neste caso, chega a tempo no serviço. Não conseguindo um taxi ele vai a pé e chega atrasado. Sua firma tem a política de tolerar no máximo de atrasos por ano.

Calcule a probabilidade de que, num ano de trabalho, Carlos não consiga cumprir com a política de tolerância da empresa com respeito a atrasos, admitindo que haja dias de trabalho por ano. Você acha que Carlos conseguirá se manter no emprego?

Em um determinado município a prefeitura está considerando a possibilidade de adotar um pacote de medidas que visam proteger o ecossistema da região. Foram sorteadas ao acaso habitantes desse município para compor uma Comissão que irá examinar esse assunto. O critério de decisão é adotar o pacote se pelo menos membros da Comissão se manifestarem favoravelmente. Admita que 75% dos habitantes do município são favoráveis ao pacote.

(a) Calcule a probabilidade de que ele seja aprovado, se

O tempo de travessia de uma balsa é uma variável aleatória que assume os valores , e minutos com probabilidades iguais. Carlos pega esta balsa diariamente para ir ao trabalho. Entretando, ele não consegue pegar a conexão com o ônibus da firma se o tempo gasto com a travessia for . Não pegando o ônibus ele consegue um taxi com probabilidade , e, neste caso, chega a tempo no serviço. Não conseguindo um taxi ele vai a pé e chega atrasado. Sua firma tem a política de tolerar no máximo de atrasos por ano.

b) Calcule a probabilidade de que, num ano de trabalho, Carlos não consiga cumprir com a política de tolerância da empresa com respeito a atrasos, admitindo que haja dias de trabalho por ano. Você acha que Carlos conseguirá se manter no emprego?

Ocorem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja o número de amostras para as quais não houve desintegrações antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de , a esperança de e a variância de . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal, .

Todas as receitas de analgésico que chegam a um ambulatório médico prescrevem aspirina (com 60% de probabilidade) ou dipirona sódica (com 40% de probabilidade). Num determinado dia há em estoque 70 comprimidos de aspirina e 50 comprimidos de dipirona sódica. Se nesse dia são prescritas 100 receitas de analgésicos, calcule:

(a) A média e o desvio padrão do número de prescrições de aspirina. Indique a expressão matemática para o modelo probabilístico desta variável;

(b) A probabilidade aproximada de todas as 100 receitas serem atendidas.

A distribuição da temperatura (em graus Celsius) de solidificação de uma substância pode ser modelada por uma Normal. Não se tem conhecimento dos parâmetros de, mas sabe-se que e .

(a) Calcule os parâmetros e da distribuição de .

(b) Qual a probabilidade de pertencer ao intervalo?

(c) Se 40 medições da temperatura de solidificação dessa substância forem realizadas, qual a probabilidade da variável pertencer ao intervalo em pelo menos 25 das 40 repetições?

Falhas mecânicas em máquinas rotativas podem advir pelo desgaste natural ou por fatores externos. Os fatores exógenos são relativos, principalmente, a atuarem sob uma carga excessiva. Suponha que um conjunto de máquinas são encaminhadas para uma oficina de reparo por causa de falhas mecânicas.

1. Estabeleça se a distribuição binomial é ou não um modelo razoável para o número de máquinas com falhas mecânicas devido a desgaste natural dentre as 20 máquinas encaminhadas para uma oficina e estabeleça qualquer suposição adicional necessária.
2. Qual a probabilidade de três ou mais das máquinas apresentarem condição defeituosa devido a desgaste natural?
3. Quais são a média e o desvio padrão do número de máquinas rotativas com defeito devido desgaste natural, no lote recebido?

Suponha que , , sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma delas tendo distribuição de Poisson com parâmetro . Faça . Observação: a soma de variáveis aleatórias de Poisson independentes tem distribuição de Poisson.

(a) Empregando o Teorema Central do Limite, calcule uma aproximação para .

OBS: Aqui se trata de aproximar uma distribuição discreta por uma contínua. Então, da mesma forma como foi visto no caso da aproximação de Binomial por Normal, cabe usar uma correção de continuidade.