Enunciado

Um artigo em Tappi (1960, Vol.43, pp. 38-44) descreve um experimento que investigou o valor da cinza da polpa de papel (uma medida de impurezas inorgânicas). Duas variáveis, temperatura T , em graus Celsius, e tempo, em horas, foram estudadas, sendo alguns resultados mostrados na tabela seguinte. As variáveis preditoras codificadas mostradas são

x 1 = T - 775 115 , x 2 = t - 3 1.5

E a resposta y é (valor da cinza seca em %) × 10 3 .

( a ) Que tipo de planejamento foi usado nesse estudo? Esse planejamento é rotacionável?

( b ) Ajuste um modelo quadrático aos dados. Esse modelo é satisfatório?

( c ) Se for importante minimizar o valor da cinza, onde correria o processo?

Passo 1

Bom galera, vamos começar traçancos os pontos em que os experimento foram feitos, fica assim:

Assim vemos que há 4 pontos de um planejamento fatorial 2 2 , 4 execuções axiais e 5 execuções no centro do ponto. ( a ) Isso é um planejamento composto cetral e não é rotacionável.

Passo 2

Beleza, agora a gente considera o modelo y i = β 0 + β 1 x i 1 + … + β k x i k + ϵ i para n observações e p y = X β + ϵ na notação matricial. Para obtermos o modelo y ^ = X β de regressão que funcione precisamos usar a formula:

β = X ' X - 1 X ' y

O vetor dos resíduos é dado por: e = y - y ^ .

O estimador da variante é σ 2 = S S E n - p = e ' e n - p .

A regressão da soma dos quadrados é:

S S R = S S T - S S E = β ' X ' y - ∑ i = 1 n y i 2 n

O coeficiente de determinação múltipla é R 2 = S S R S S T .

Então nós chegamos no modelo:

y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 1 2 + β 4 x 2 2 + β 5 x 1 x 2

Passo 3

Show de bola, usando o Minitab para encontrar a equação de regressão. Nós encontraremos:

E com isso temos:

b y ^ = 150 - 58.5 x 1 + 3.35 x 2 - 6.53 x 1 2 + 10.6 x 2 2 + 0.50 x 1 x 2

Passo 4

Agora, vamos aos valores de P dos t-testes para testar hipóteses nulas de β = 0 para quando a constante e o termo linear x 1 forem pequenos, logo podemos concluir que esses termos são significativos. Mas em 0.05 nós não podemos concluir qu os termos da regressão são significativos. Portanto o modelo não é satisfatório.

Passo 5

Por fim, vamos plotar superfície formada:

( c ) Observando a gente nota que o valor mínimo para y é obtido quando x 1 = 1 , x 2 = 0 .

Resposta

( a ) Isso é um planejamento composto cetral e não é rotacionável.

b y ^ = 150 - 58.5 x 1 + 3.35 x 2 - 6.53 x 1 2 + 10.6 x 2 2 + 0.50 x 1 x 2

Os termos lineares são significativos, enquanto os termos quadráticos e os termos de interação não são significativos.

( c ) O valor mínimo para y é obtido quando x 1 = 1 , x 2 = 0 .

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