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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 9

Um avião tem 4 turbinas (2 em cada lado); sabe-se que a probabilidade de cada turbina falhar numa viagem transoceânica é de 8% (falhas independentes entre si). Calcular, numa viagem dessas, a probabilidade de que:

  1. haja êxito no voo, sabendo-se que o avião pode voar com até 2 turbinas;
  2. haja êxito no voo, sabendo-se que o avião pode voar com até 2 turbinas, desde que seja 1 turbina de cada lado;
  3. no mínimo 2 aviões, de um grupo de 5 aviões iguais, tenham sido só 1 turbina falhada por avião.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = C n ,       x ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Onde:

C n ,       x = n x = n ! x ! n - x !

Então nossa equação irá ficar:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Do enunciado temos os seguintes dados:

  • p = 0,08
  • q = 1 - 0,08 = 0,92
  • n = 4

Para o item a) queremos descobrir a probabilidade de que haja êxito no voo, sabendo que o avião pode voar com até 2 turbinas, ou seja P ( x ≤ 2 ) . Para nenhuma turbina ( P ( 0 ) ):

P 0 = 4 ! 0 ! 4 ! ∙ 0,08 0 ∙ 0,92 4 = 0,716

A probabilidade para apenas 1 turbina:

P 1 = 4 ! 1 ! 3 ! ∙ 0,08 1 ∙ 0,92 3 = 0,249

E para 2 turbinas:

P 2 = 4 ! 2 ! 2 ! ∙ 0,08 2 ∙ 0,92 2 = 0,033

Portanto a probabilidade do avião voar com até 2 turbinas é:

P x ≤ 2 = P 0 + P 1 + P ( 2 ) = 0,998

P x ≤ 2 = 99,8 %

Passo 2

Para o item b) iremos considerar que D 1 é o número de turbinas defeituosas em um lado do avião e D 2 o número de turbinas defeituosas no outro lado do avião. Como os eventos são mutuamente exclusivos, e pela hipótese de independência, temos:

Pr ⁡ E = P r D 1 = 0 ∙ P r D 2 = 0 + P r D 1 = 0 ∙ P r D 2 = 1 + P r D 1 = 1 ∙ P r D 2 = 0 + P r D 1 = 1 ∙ P r D 2 = 1

Pr ⁡ E = 2 ! 0 ! 2 ! ∙ 0,08 0 ∙ 0,92 2 ∙ 2 ! 0 ! 2 ! ∙ 0,08 0 ∙ 0,92 2 +

                                  2 ! 0 ! 2 ! ∙ 0,08 0 ∙ 0,92 2 ∙ 2 ! 1 ! 1 ! ∙ 0,08 1 ∙ 0,92 1 +

                                  2 ! 1 ! 1 ! ∙ 0,08 1 ∙ 0,92 1 ∙ 2 ! 0 ! 2 ! ∙ 0,08 0 ∙ 0,92 2 +

                                  2 ! 1 ! 1 ! ∙ 0,08 1 ∙ 0,92 1 ∙ 2 ! 1 ! 1 ! ∙ 0,08 1 ∙ 0,92 1        

Pr ⁡ E = 0,987 ∙ 100 % = 98,7 %

Passo 3

No item c) precisamos primeiramente saber qual a probabilidade de apenas 1 turbina falhar, como calculamos no Passo 1:

P 1 = 0,249

Agora precisamos calcular a probabilidade de no mínimo 2 aviões, de um grupo de 5 aviões iguais, terem apenas 1 turbina falhada por avião:

  • n = 5
  • x ≥ 2
  • p = 0,249
  • q = 1 - 0,249 = 0,751

Se 2 aviões tiverem 1 turbina falhada:

P 2 = 5 ! 2 ! ( 5 - 2 ) ! ⋅   0,249 2 ⋅   0,751 5 - 2 = 0,263

Para 3 aviões:

P 3 = 5 ! 3 ! ( 5 - 3 ) ! ⋅   0,249 3 ⋅   0,751 5 - 3 = 0,087

Para 4 aviões:

P 4 = 5 ! 4 ! ( 5 - 4 ) ! ⋅   0,249 4 ⋅   0,751 5 - 4 = 0,014

E 5 aviões:

P 5 = 5 ! 5 ! ( 5 - 5 ) ! ⋅   0,249 5 ⋅   0,751 5 - 5 = 9,57 ∙ 10 - 4

Portanto a probabilidade de no mínimo 2 aviões, de um grupo de 5 aviões iguais terem apenas 1 turbina falhada por avião é:

P x ≥ 2 = P 2 + P 3 + P 4 + P ( 5 ) = 0,365

P x ≥ 2 = 36,5 %

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  1. P x ≤ 2 = 99,8 % ;
  2. Pr ⁡ E = 98,7 % ;
  3. P x ≥ 2 = 36,5 % .

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