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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 6

O setor de controle de qualidade de uma fábrica testa 6 peças de cada lote de 80 unidades recebidas, adotando o seguinte critério: se for encontrada no máximo 1 peça defeituosa, o lote é aceito normalmente, caso contrário deve sofrer inspeção total. Admitindo a existência de 4 peças defeituosas por lote, calcular:

  1. a probabilidade de não haver inspeção total num certo lote;
  2. a probabilidade de somente 3 lotes, de um grupo de 5 lotes iguais, apresentarem no máximo 1 peça defeituosa por lote;
  3. admitindo um custo de inspeção total de Cr$ 200,00 por lote, estimar o custo de inspeção total de 20 lotes recebidos.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = C n ,       x ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Onde:

C n ,       x = n x = n ! x ! n - x !

Então nossa equação irá ficar:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Do enunciado temos os seguintes dados:

  • p = 0,05
  • q = 1 - 0,05 = 0,95
  • n = 6

Para o item a) queremos descobrir a probabilidade de não haver inspeção total num certo lote. E sabemos que não há inspeção total quando há no máximo 1 peça defeituosa, ou seja queremos descobrir a probabilidade para P ( x ≤ 1 ) . Para nenhuma peça defeituosa ( P ( 0 ) ):

P 0 = 6 ! 0 ! 6 ! ∙ 0,05 0 ∙ 0,95 6 = 0,735

E a probabilidade de encontrarmos apenas 1 peça defeituosa:

P 1 = 6 ! 1 ! 5 ! ∙ 0,05 1 ∙ 0,95 5 = 0,232

Portanto a probabilidade de encontrarmos no máximo 1 peça defeituosa é:

P x ≤ 1 = P 0 + P 1 = 0,967

P x ≤ 1 = 96,7 %

Passo 2

No item b) precisamos primeiramente saber qual a probabilidade de terem no máximo uma peça defeituosa por lote. Valor que calculamos no Passo 1:

P x ≤ 1 = 0,967

Agora precisamos calcular a probabilidade de 3 lotes, de um grupo de 5 lotes iguais, terem no máximo 1 peça defeituosa por lote:

  • n = 5
  • x = 3
  • p = 0,967

P x = 3 = 5 ! 3 ! ( 5 - 3 ) ! ⋅   0,967 3 ⋅   1 - 0,967 5 - 3 = 0,010 = 1,0 %

Passo 3

E por fim, no item c) sabemos que o custo da inspeção total é de Cr$ 200,00 por lote, e queremos estimar o custo de inspeção total de 20 lotes.

Como vimos no Passo 1, P x ≤ 1 = 0,967 , para a inspeção total é quando tem mais de 1 peça com defeito, então:

P x > 1 = 0,033

Então o custo para 20 lotes será:

c u s t o   d e   i n s p e ç ã o   t o t a l = 0,033 ∙ 200 ∙ 20

c u s t o   d e   i n s p e ç ã o   t o t a l = C r $   132,00

Esse exercício já acabou! Bora fazer mais exercícios comigo? Estou te esperando, até mais!

Resposta

  1. P x ≤ 1 = 96,7 % ;
  2. P x = 3 = 1,0 % ;
  3. c u s t o   d e   i n s p e ç ã o   t o t a l = C r $   132,00 .

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