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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 17

No Capítulo 3 , definimos uma va binomial negativa como o número de falhas que ocorrem antes do r -ésimo sucesso em uma sequiência de tentativas de sucesso / falha idênticas e independentes. A função de massa de probabilidade (fmp) de X é

n b ( x ; r , p ) =

a. Suponha que r ≥ 2 . Mostre que

p ˆ = ( r - 1 ) / ( X + r - 1 )

é um estimador não-tendencioso para p. [Sugestão: Desenvolva E ( p ˆ ) e cancele x + r - 1 dentro da soma.]

b. Um repórter que deseja entrevistar cinco pessoas que apoiam um candidato começa perguntando a elas se apoiam ( S ) ou não ( F ) tal candidato. Se a sequência das respostas é estime p = proporção real que apoia o candidato.

Passo 1

Suponha que r ≥ 2 . Mostre que

p ˆ = ( r - 1 ) / ( X + r - 1 )

É um estimador não-tendencioso para p.

a .   E ( p ^ ) = ∑ x = 0 ∞   r - 1 x + r - 1 ⋅ x + r - 1   x   ⋅ p r ⋅ ( 1 - p ) x

= p ∑ x = 0 ∞   ( x + r - 2 ) x ! ( r - 2 ) ! ⋅ p r - 1 ⋅ ( 1 - p ) x = p ∑ x = 0 ∞   x + r - 2   x   p r - 1 ( 1 - p ) x = p ∑ x = 0 ∞   n b ( x ; r - 1 , p ) = p .

Passo 2

Um repórter que deseja entrevistar cinco pessoas que apoiam um candidato começa perguntando a elas se apoiam ( S ) ou não ( F ) tal candidato. Se a sequência das respostas é estime p = proporção real que apóia o candidato

b. para a sequência dada x = 5 ,   e n t ã o   p ^ = 5 - 1 5 + 5 - 1 = 4 9 = . 444

Resposta

a . p .

b. 444

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