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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 60

Cinco automóveis do mesmo tipo farão uma viagem de 300 milhas. Os dois primeiros usarão uma marca de gasolina econômica, e os outros três, uma marca renomada. Sejam X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , e X 5 os consumos de combustível observados (milhas/galão) dos cinco carros. Suponha que essas variáveis sejam independentes e normalmente distribuídas com μ 1 = μ 2 = 20 , μ 3 = μ 4 = μ 5 = 21 e σ 2 = 4 para a marca econômica e 3,5 para a marca renomada. Defina a va Y como

Y = X 1 + X 2 2 - X 3 + X 4 + X 5 3

De modo que Y seja a medida da diferença do consumo entre a gasolina econômica e a renomada. Calcule P ( 0 ≤ Y ) e P ( - 1 ≤ Y ≤ 1 ) . [Sugestão: Y = a 1 X 1 + … + a 5 X 5 , com a 1 = 1 2 ,   … , a 5 ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão, vamos organizar a equação de Y .

Y = X 1 + X 2 2 - X 3 + X 4 + X 5 3

Que pode ser escrita como:

Y = 1 2 X 1 + 1 2 X 2 - 1 3 X 3 - 1 3 X 4 - 1 3 X 5

Agora podemos calcular a média e o desvio padrão da função.

A média de uma combinação linear é a combinação linear de suas médias:

μ Y = 1 2 μ 1 + 1 2 μ 2 - 1 3 μ 3 - 1 3 μ 4 - 1 3 μ 5

= 1 2 20 + 1 2 20 - 1 3 21 - 1 3 21 - 1 3 ( 21 )

= 10 + 10 - 7 - 7 - 7

μ Y = - 1

Similarmente a variância é calculada como:

σ Y 2 = 1 2 2 σ 1 2 + 1 2 2 σ 2 2 + - 1 3 2 σ 3 2 + - 1 3 2 σ 4 2 + - 1 2 2 σ 5 2

= 1 4 4 + 1 4 4 + 1 9 3,5 + 1 9 3,5 + 1 9 ( 3,5 )

σ Y 2 = 19 6

Para finalizarmos a questão agora, basta encontrarmos a variável aleatória Z e definirmos as probabilidades que precisamos encontrar. Bora lá!!!

Passo 2

A variável aleatória pode ser calculada da seguinte forma:

z = y - μ Y σ Y = 0 - ( - 1 ) 1,7795 = 0,56

z = y - μ Y σ Y = - 1 - ( - 1 ) 1,7795 = 0

y - μ Y σ Y = 1 - ( - 1 ) 1,7795 = 1,12

Por fim, calculando as probabilidades.

P 0 ≤ Y = P ( 0,56 < Z )

= 1 - P ( Z < 0,56 )

= 1 - 0,7123

P 0 ≤ Y = 0,2877

Para a segunda probabilidade pedida temos:

P - 1 < Y < 1 = P ( 0 < Z < 1,12 )

= P Z < 1,12 - P ( Z < 0 )

= 0,8686 - 0,5

P - 1 < Y < 1 = 0,3686

Resposta

P 0 ≤ Y = 0,2877

P - 1 < Y < 1 = 0,3686

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