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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 29

Considere uma amostra aleatória X 1 , X 2 , … , X n da fdp exponencial deslocada

f ( x ; λ , θ ) = λ e - λ ( x - θ ) x ≥ θ 0  caso contrário 

Considerando θ = 0 fornece a fdp da distribuição exponencial considerada anteriormente (com densidade positiva à direita de zero). Um exemplo da distribuição exponencial deslocada apareceu no Exemplo 4.4, em que a variável de interesse era o tempo de avanço no fluxo do tráfego, e θ = 0,5 era o tempo de avanço mínimo possível.

a. Obtenha os estimadores de máxima verossimilhança de θ e λ .

b. Se são feitas n = 10 observações do tempo de avanço, resultando nos valores 3,11,0 , 64,2 , 55,2 , 20 , 5,44,3 , 42,10,39,8 , 93,17,82 e 1,30 , calcule as estimativas de θ e λ .

Passo 1

a. A pdf conjunta (função de verossimilhança) é

f x 1 , … , x n ; λ , θ = λ n e - λ Σ x t - θ x 1 ≥ θ , … , x n ≥ θ 0  por outro lado

Note que x 1 ≥ θ , … , x n ≥ θ  iff  m i n x i ≥ θ

E que - λ Σ x i - θ = - λ Σ x i + n λ θ

Assim, probabilidade = λ n e x p ⁡ - λ Σ x i e x p ⁡ ( n λ θ ) m i n x i ≥ θ 0 m i n x i < θ

Considere a maximização wrt θ. Como o expoente nλθ é positivo, aumentar θ aumentará a probabilidade desde que min x i ≥ θ ; se fizermos θ maior que min x i , a probabilidade cai para 0 . Isto implica que o ml de   θ é θ ˆ = m i n x i .. A probabilidade logarítmica agora é n l n ⁡ ( λ ) - λ Σ x i - θ ˆ . Igualando a derivada wrt λ a 0 e resolvendo produz λ ˆ = n ∑ x i - θ ˆ = n ∑ x i - n θ ˆ .

Passo 2

b.  θ ^ = m i n x i = . 64 , and  Σ x i = 55.80 , so  λ ^ = 10 55.80 - 6.4 = . 20 2

Resposta

a . λ ˆ = n ∑ x i - θ ˆ = n ∑ x i - n θ ˆ .

b. 20 2

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