Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 59

Sejam X 1 , X 2 , e X 3 os tempos necessários para realizar três reparos sucessivos em determinada oficina. Suponha que sejam vas normais independentes com valores esperados μ 1 , μ 2 , e μ 3 e variâncias σ 1 2 , σ 2 2 , e σ 3 2 , respectivamente.

a. Se μ = μ 2 = μ 3 = 60 e σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = 15 , calcule P ( X 1 + X 2 + X 3 ≤ 200 ) . Qual é P ( 150 ≤ X 1 + X 2 + X 3 ≤ 200 ) ?

b. Usando os μ i s e σ i s dados na parte (a), calcule P ( 55 ≤ X - ) e P ( 58 ≤ X - ≤ 62 ) .

c. Usando os μ i s e σ i s dados na parte (a), calcule P ( - 10 ≤ X 1 - 0,5 X 2 - 0,5 X 3 ≤ 5 ) .

d. Se μ 1 = 40 , μ 2 = 50 , μ 3 = 60 , σ 1 2 = 10 , σ 2 2 = 12 e σ 3 2 = 14 , calcule P ( X 1 + X 2 + X 3 ≤ 160 ) e P ( X 1 + X 2 ≥ 2 X 3 ) .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão, vou deixar as equações explícitas conforme a resolução, são muitas probabilidades para calcularmos, mas vamos dar conta. Bora lá!!!

Passo 2

Na letra (a), a variável aleatória é definida como:

T 0 = X 1 + X 2 + X 3

O valor médio da variável é:

E T 0 = E X 1 + X 2 + X 3

= E X 1 + E X 2 + E ( X 3 )

= 60 + 60 + 60

E T 0 = 180

A variância:

V T 0 = V ( X 1 + X 2 + X 3 )

= V X 1 + V X 2 + V ( X 3 )

= 15 + 15 + 15

= 45

Por fim, o desvio padrão da variável aleatória T 0 é:

σ T 0 = V ( T 0 ) = 45 = 6,708

A primeira probabilidade é T 0 menor ou igual a 200 .

P T 0 ≤ 200 = P ( X 1 + X 2 + X 3 ≤ 200 )

= P X 1 + X 2 + X 3 - μ T 0 σ T 0 ≤ 200 - 180 6708

= P Z ≤ 2,98

P T 0 ≤ 200 = 0,9986

E a segunda fica:

P 150 ≤ T 0 ≤ 200 = P 150 - 180 6708 ≤ X 1 + X 2 + X 3 - μ T 0 σ T 0 ≤ 200 - 180 6708

= P ( - 4,47 ≤ Z ≤ 2,98 )

= P Z ≤ 2,98 - P ( Z ≤ 4,47 )

= 0,9986

Passo 3

Agora, vamos precisar do valor médio da amostra e do desvio padrão dela.

Valor médio da amostra:

μ X - = μ = 60

O desvio padrão da média da amostra:

σ X - = σ n = 15 3 = 2,236

Logo, as probabilidades pedidas ficam:

Primeira probabilidade.

P X - ≥ 55 = P X - - μ X - σ X - ≥ 55 - 60 2236

= P ( Z ≥ - 2,236 )

= 1 - P Z < - 2,236 = 0,9875

A segunda probabilidade.

P 58 ≤ X - ≤ 62 = P ( - 0,89 ≤ Z ≤ 0,89 )

= 0,6266

Passo 4

Antes de calcularmos as probabilidades, precisamos encontrar o valor médio da variável aleatória e o desvio padrão dela.

Encontrando o valor médio:

E T 1 = E X 1 - 0,5 X 2 - 0,5 X 3

= E X 1 - 0,5 E X 2 - 0,5 E X 3

= 60 - 0,5 . 60 - 0,5 . ( 60 )

E T 1 = 0

Achando a variância:

V T 1 = V ( X 1 - 0,5 X 2 - 0,5 X 3 )

= 1 2 V X 1 + - 0,5 2 V X 2 + - 0,5 2 V ( X 3 )

= 15 + - 0,5 2 . 15 + - 0,5 2 . 15

= 22,5

Por fim, achando o desvio padrão da variável aleatória.

σ T 1 = V ( T 1 ) = 22,5 = 4,7434

Então, agora podemos calcular a probabilidade da seguinte forma:

P - 10 ≤ T 1 ≤ 5 = P - 10 - 0 4,7434 ≤ Z ≤ 5 - 0 4,7434

= P ( - 2,11 ≤ Z ≤ 1,05 )

= P Z ≤ 1,05 - P ( Z ≤ - 2,11 )

= 0,8531 - 0,0174

= 0,8357

Passo 5

Novamente, antes de calcularmos as probabilidades, precisamos encontrar o valor médio da variável aleatória e o desvio padrão dela.

Encontrando o valor médio:

E T 0 = E X 1 + X 2 + X 3

= E X 1 + E X 2 + E X 3

= 40 + 50 + 60

E T 0 = 150

Achando a variância:

V T 0 = V ( X 1 + X 2 + X 3 )

= V X 1 + V X 2 + V ( X 3 )

= 10 + 12 + 14

= 36

Por fim, achando o desvio padrão da variável aleatória.

σ T 1 = V ( T 0 ) = 36 = 6

Agora, calculando a probabilidade.

P T 0 ≤ 160 = P X 1 + X 2 + X 3 ≤ 160

= P X 1 + X 2 + X 3 - μ T 0 σ T 0 ≤ 160 - 150 6

= P ( Z ≤ 1,67 )

= 0,9525

Para calcularmos a segunda probabilidade da letra (d), vamos precisar encontrarmos um novo valor médio e desvio padrão, do mesmo método acima. Bora láa.

Antes, precisamos definir a inequação abaixo:

X 1 + X 2 ≥ 2 X 3

Que pode ser escrita como:

X 1 + X 2 - 2 X 3 ≥ 0

Sendo assim, temos que:

T 2 = X 1 + X 2 - 2 X 3

Encontrando o valor médio:

E T 2 = E X 1 + X 2 - 2 X 3

= E X 1 + E X 2 - 2 E X 3

= 40 + 50 - 2 . ( 60 )

E T 0 = - 30

Achando a variância:

V T 0 = V ( X 1 + X 2 - 2 X 3 )

= V X 1 + V X 2 + - 2 2 V ( X 3 )

= 10 + 12 + 4 . ( 12 )

= 78

Por fim, achando o desvio padrão da variável aleatória.

σ T 1 = V ( T 0 ) = 78 = 8,832

Agora, calculando a probabilidade.

P T 2 ≥ 0 = P X 1 + X 2 - 2 X 3 ≥ 0

= P X 1 + X 2 - 2 X 3 - μ T 2 σ T 2 ≤ 0 - ( - 30 ) 8,832

= P ( Z ≥ 3,4 )

P T 2 ≥ 0 = 0 , 0003

Terminamos!!!

Resposta

  1. P T 0 ≤ 200 = 0,9986                               P 150 ≤ T 0 ≤ 200 = 0,9986        

  2. P X - ≥ 55 = 0,9875                     P 58 ≤ X - ≤ 62 = 0,6266

  3. P - 10 ≤ T 1 ≤ 5 = 0,8357                

  4. P T 0 ≤ 160 = 0 , 9525

  5. P T 2 ≥ 0 = 0,0003

Exercícios de Livros Relacionados

Reconsidere o exercício 16-7. Usando as estimativas do processo, qual será o nível de fração defeituosa se as especificações forem 10 ± 5m m ? Estime R C P e interprete essa razão.
Vinte medidas sucessivas de dureza são feitas em uma liga metálica, sendo os dados mostrados na seguinte tabela.a)Usando todos os dados, calcule os limites tentativas de controle para os gráficos das
Reconsidere o exercício 16-4(a). Considerando que ambos os gráficos exibam controle estatístico e que as especificações de processo sejam 20 ± 5 , estime R C P e R C P i e interprete essas razões.
Reconsidere o exercício 16-5. Use os limites revistos de controle e as estimativas de processo.a)Estime R C P e R C P i e interprete essas razões.b)Que porcentagem de defeitos está sendo produzida por
Aplique as regras ao seguinte gráfico de controle x. Os limites de advertência são mostrados como linhas tracejadas. Descreva qualquer uma das violações das regras.