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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 40

Se o comprimento da rosca de um parafuso tem distribuição normal, qual é a probabilidade de o comprimento da rosca de um parafuso selecionado aleatoriamente:

a. estar a 1,5 DPs do valor da média?

b. estar a mais de 2,5 DPs do valor da média?

c. estar entre 1 e 2 DPs do valor da média?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Essa questão será rapidinha, 2 minutinhos a terminamos!! Precisamos apenas denotar as probabilidades de forma correta que poderemos simplificar as variáveis e encontraremos as probabilidades. Bora lá!!

Passo 2

A probabilidade de que o comprimento da rosca de um parafuso selecionado aleatoriamente esteja dentro de 1,5 DPs de seu valor médio é denotado como:

P ( μ - 1,5 σ < X < μ + 1,5 σ )

Se, e somente se:

μ - 1,5 σ - μ σ < X - μ σ < μ + 1,5 σ - μ σ

- 1,5 < Z < 1,5

Portanto, a probabilidade que queremos encontrar é definida por:

P μ - 1,5 σ < X < μ + 1,5 σ = Φ 1,5 - Φ ( - 1,5 )

= 0,9332 - 0,0668

P μ - 1,5 σ < X < μ + 1,5 σ = 0,8664

Passo 3

A probabilidade de que o comprimento da rosca de um parafuso selecionado aleatoriamente esteja dentro de 2,5 DPs de seu valor médio é denotado como:

P ( μ - 2 , 5 σ < X < μ + 2 , 5 σ )

Se, e somente se:

μ - 2 , 5 σ - μ σ < X - μ σ < μ + 2 , 5 σ - μ σ

- 2 , 5 < Z < 2 , 5

Portanto, a probabilidade que queremos encontrar é definida por:

P μ - 2 , 5 σ < X < μ + 2 , 5 σ = Φ 2 , 5 - Φ ( - 2 , 5 )

= 0,9 938 - 0,0 062

P μ - 1,5 σ < X < μ + 1,5 σ = 0 , 9876

Por fim, usando a definição do complemento de um evento:

P M a i s   d o   q u e   2,5   d a   m é d i a = 1 - P μ - 1,5 σ < X < μ + 1,5 σ

P M a i s   d o   q u e   2,5   d a   m é d i a = 0,0124

Passo 4

Por fim, a ultima probabilidade pode ser calculada da seguinte forma:

P E n t r e   1   e   2   D P s   d a   m é d i a = P D e n t r o   d e   2   D P s - P ( D e n t r o   d e   1   D P s )

= P μ - 2 σ < X < μ + 2 σ = μ - σ < X < μ + σ

= Φ 2 - Φ - 2 - Φ 1 - Φ ( - 1 )

= 0,9772 - 0,0228 - 0,8413 - 0,1587

P E n t r e   1   e   2   D P s   d a   m é d i a = 0,2718

Resposta

  1. 0,8664

  2. 0,0124

  3. 0,2718

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